2014年北京高考数学卷解析：重点考查三大能力

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　　举国瞩目的2014高考数学科目的考试已结束，新东方在线高考名师团队第一时间对2014高考数学真题进行了点评，希望能对考生、家长有所帮助，也希望对2015高考考生提供借鉴。以下是北京新东方高考数学老师周帅对北京卷2014年数学真题的解析和点评。

　　2014高考北京卷文科理科数学的难度分析

　　每年高考语文考完之后大家关注的都是作文是什么，数学考完之后，所有同学、全社会都只关注一个问题，那就是今年数学难不难。今年数学难不难?每年碰到这样的问题都有一个回答，难度和去年基本持平，对于2014年具体的北京高考数学的文科和理科来说难度有了哪些变化呢?有哪些需要我们关注呢?

　　第一，文科和去年相比难度下降。北京市高考实行新课标以来，一直有一道题目叫做“第20题”，第20题压轴题都特别难，往往是新定义的题目，可能跟数列有关系，可能跟集合有关系，部分时候跟函数也有关系，这道题特别难，主要是第一不认识，第二没时间，但在2014年北京市高考文科数学的试题中，20题消失了，这是所有文科同学都感到很开心的事情，今年文科多出了一道大题，是普通的数列计算题，出在了第15题，少了一道，20题没有了，取而代之的是20题是导数的题目，很简单。

　　第二，理科跟往年比难度略有增加。题目往年是有一些所谓的表面上的难度增加，举一个例子，立体几何比较诡异，正常情况下，正常年份，立体几何应该是三问，有一问垂直证明，有一问角度计算和空间探索，今年北京市的理科数学，相当一部分同学，包括平时还不错的同学，处理的都不是特别好，所以这是北京市今年理科数学难度增大的一个具体的表现。

　　实际上是因为题目具体的表现形态的变化，使得难度增加了，对于同学们在具体复习考试的时候，需要注意应该怎么办?另外一个问题是同学们关注比较少的，但是必须跟大家强调的，就是需要求同存异。求同存异指的是文科和理科试卷的关系，考前冲刺复习的时候，不太需要做太多的新题目和背太多的公式，一定要看看在最近几年的考试中，你所在省区的另外一套题目。文科生看看理科的卷子，理科生看看文科的卷子。今年延续了去年文科题目的考法，文科和理科一般不太一样，难度上不太一样，这种表面现象差异下的两个问题，即使考的不太一样，但是要求的基本知识点和基本能力是一样的，一会儿会通过题目讲这个。

　　表面现象不一样，但是他们之间存在一种相互借鉴或者传承的关系，今年理科是去年文科的变形，所以，这对于明年要参加高考的同学具有特别重要的指导意义。

　　出题人需要考察我们哪些方面的重要能力?这里有三点：

　　1.应用性。这是多年以来，高考数学改革的一个重要方向，也是高考命题人在出题时候的一个重要参考方向。比如今年北京地区，特别像北京、上海，这样一些教育资源比较丰富的地区，高考改革走的比较快的地区，往往会在这方面表现的更加突出一些，北京今年在文科和理科都出现了应用题，不是传统的应用题，而是更多的把数学和生活实践结合起来。比如今年爆米花与函数的问题，还有NBA总决赛主客场的问题，两个人比成绩，谁比谁好，谁不比谁差，这样一种题目，其实不仅需要考查同学们对于数学模型的加工和计算能力，更多考察的是我们去关注生活、了解生活和数学这样一种关系。对于平时而言是一种重要的学习习惯，对于考试来说是一种重要的考察方式，接下来的复习过程中，同学们一定要关注，当然已经考过的同学，如果关注到这一些，这种题目处理起来会从容一些。

　　2.基本的数学能力。在部分比较难的题目当中，比如在今年文科和理科共同的解析几何大题，19题当中，出现了一些不太正常的计算方式，平时熟悉的解析几何题是直线跟曲线联立，之后有一个二次方程，算判别式，代入计算，我们发现今年考的不是这样的东西，今年考的是单动点。今年第15题，这个题目的数字和角度并不是我们平时熟悉的数字和角度，我们发现在很多时候，出题人可能在遵循这样一个基本思路，叫考查基本的数学能力，这种能力是什么?这种能力包括你的计算能力，是你的观察能力，是你对于图像的识别能力，空间想象能力，真的不一定是具体题目的解法或者技巧，这是我们需要同学们在平时复习的过程中，需要去重点关注的问题，算数字看图像都会。说到图像，刚才我们提到了一个事情，今年理科的立体几何的题目，很多同学不太会算，有一些非建系的问题，有同学看图看不清楚，关系看不明白，因为平时疏于练习，对于图形不清楚，做起来相对来说难受一些，考前冲刺的时候，你甚至可以不关注一道几何题目以及具体解法，但是我们一定要了解这个图像，以及图像里面的关系，出题人如何要求你去看这个图像，了解图像。如果你的基础足够好，题目怎么变，对于你来说影响不大，如果基础不扎实，只是学了一些解题方法和技巧，题目一旦发生变化，处理起来就会出现问题，可能部分同学今年可能考的不是特别好，没有关系。碰到一些新问题，处理的不那么好，基本功没有那么扎实，没关系，接下来带大家练基本功。

　　3.反题型练习。多年来我们研究考试的人，我们做题目的人和出题目的人一直存在一个驳论，这个驳论叫做题型教学和反题型练习，有一些固定的题型，学会这个方法解决这种题型，从而拿到考试分数，于是我们会给学生，包括学生自己去做一些考试的预测，我们觉得今年会考哪几个题目，这几个题目你要好好做做，但是后来我们发现，往往在部分情况下，我们能够预测的比较准，因为可能今年刚好轮到考这样的考法，但在有些题目中，出题人往往会做一些创新的工作，这种创新正是基于平时学生学习的漏洞，叫做只会解题方法，而忽略了对于数学思想的研究，忽略了对于基本功的重视。今年考前我们也给学生做过预测，我们预测会考哪些题目，很明确地说，有一些压中了，因为数学题目相对来说还是比较好压中的，确实有一些固定的套路，也有一些题我们没有压中，出题人可能在题目上做了一些变化，这种变化不仅仅是固定的题型和方法，而是基于基本功的考查，基于命题规律和趋势的这种对于题目的研究，这也是很多同学在接下来复习过程中，可能会欠缺，但一定要注意的问题。

　　哪些题目是可能有一些固定的对应的解决方案的?

　　之前有一些解法必须要会，是基础知识，是基本功，哪些题目有一些调整和变化，复习的时候需要去关注，我们结合具体的题型来看看。

　　1、北京市文科数学填空题第13题

　　这道题线性规划，线性规划每年必考，不过有些题目考的相对难一些，这个题目还好，给出的是一个确立的不等式组，还有一个目标函数，做的工作有三步，第一步把平面区域画出来，可行域，第二步把目标函数变成我们熟悉的形式，直线上下平移发生变化，但很多同学的问题并不是不会，在大家都会的情况下，这道题你有没有可能做的更快更好一些。如果我们知道有一些题目是基本上确定会考的，考法稳定，考点清楚，每年的变化比较少，我们需要做的事情就是提高效率，题目中的这句话“最值一般在交点或者边界处取得”。什么意思?意思是这个题目也许以后对于我们来说，就不一定真的需要每道题都画图平移，而是只需要根据题目的不等式组对应的方程组，解出三个交点，分别代入目标函数，比大小，谁大谁小一目了然，这样就能解得更快一些。如果题目确实你会，你能不能变的更好。

　　2、北京市理科数学第14题

　　今年的第14题考的是函数。函数性质最重要的考法是单调性、对称性结合，只不过这个题目加上了一个东西叫做周期性。这个题目怎么做?大家看的两个等号，这两个等号其实告诉我们的是对称性，我们知道，如果纵坐标相等，横坐标相加除以2就是对称轴，我们知道如果纵坐标相反，那么横坐标相加除以2就是对称中心的横坐标，纵坐标是0。所以这个题目其实是用等号告诉我们，这个函数具有两种对称性，一个是轴对称，一个是中心对称，而如果大家再能联想到我们平时学过的基础知识，基本初等函数，三角函数，y等于sinx，或者y等于cosx，它们的对称和周期的关系的话，有一个东西我们在第一轮复习重点讲过，考前又说过一次，如果一个函数有两条对称轴，那么相邻两条对称轴的距离就是二分之一周期，如果一个函数有两个对称中心，相邻两个对称中心的距离就是二分之一周期，有对称轴，有对称中心，那么距离最近的对称轴和对称中心之间的距离就是周期的1/4，只不过那个题目是叫sinx，而这个题目是是sinx发生变化之后的一个图形，不过依然满足类似的性质，并且题目专门为了让我们确定这个结果，告诉了我们一个单调性，要做的工作就是画图。

　　这个题目在文科里面也有考，告诉一个函数图像，让我们求相应的值，这个题目没有给图像，但是我们可以类比去画一个大致的图像，去看出可能的周期。大家看到下面的一行字，叫三角函数的一般性质特殊化，其实高中数学很大程度上考一个东西，请大家记住我说的这句话：叫做利用特殊情况，研究一般性质，这是我们的研究方法。而在考试里面具体题目的形态，就是给出一个特殊的具体的函数让你去研究它的一般性质，所以它是一个，从我们学过的sinx—具体，到一般的，然后再到更加具体的，了解了这个过程，你就知道出题人是怎么想的，从另外意义上就是我们所说的重要考点，单调性和对称性结合的这样一种考法，这就是考试的稳定性，但是形式上会有一些变化。

　　3、北京市理科数学第15题

　　北京市高考数学从2010年以来，基本上在15题里面考的是三角函数的函数性质，求周期，求最值和单调区间，只有在2013年理科数学的15题考了一道解三角形的题目，我们预测这个趋势可能会延续，果不其然，在今年理科数学15题依然考的解三角形，这是第一个。在考前我们做过第二个预测，解三角形的普通考法，三角形ABC，边a，b，c，没什么可算的，同学们记得一个口诀，叫两角用正弦，单角用余弦，如果题目只有一个角，用这个角的正弦写面积公式，余弦写边长关系。但是这个题目出现了变化，当时跟同学们说，三角形ABC依然存在，但一定会出现一些新的点和线，当时我跟大家说的是出现角平分线、出现中点，很遗憾这点我没有预测得特别准确，这里要跟同学们道个歉，但是D点还是出现了，并且它给的不是角平分线和中点，而是更加的边长和角度，因此我们要做的事件只有一件，在三角形ABC，ABD，ACD中分别使用正弦和余弦定理，新的D点以后，图中一定有两个角互补，两个角互补，正弦相等，余弦互为相反数，分别使用正弦和余弦定理，一定可以求出来，这是一定会考的基本功，你必须要了解。

　　第二点是我们在所有三角函数也好，解三角形也罢，跟大家强调过一个重要问题，叫做多值性，而多值性依然延续了去年的考法，同学们做过2013年北京高考理科数学15题，求边长的题目，算出了两个数字，舍去了一个，今年的题目依然利用余弦求边长，出现不同结果，最后需要检验和判断，这个题目为什么有些同学今年做的时候感觉不是那么好，考试结束后跟我说，老师今年三角题目你压中了，但是数字不是特别好算，因为平时我们已经习惯一些30度、60度90度这样的特殊角，今年出现了1/7这样的数字，有同学就不愿意算了，因此平时要多练一些基本功。考试是稳定的，固定考点就那么多，考法要调整，你需要适应这种考法，怎么适应?要多练练基本功，平时关注，考试就不着急。

　　4、北京市理科数学第18、19题

　　这些题目可能难一些，对于大部分同学来说都是如此，正常情况下，除了像今年理科的20题，可能对于大部分同学来说稍微难一些的题目，18、19题，函数和解析几何，这个题目最开始提到的是文科数学和理科数学的求同存异的关系。在2013年北京市的文科数学的导数大题里出现一个三角函数，今年在理科数学果然也出现了三角函数，为什么考三角函数，第一因为它很重要，第二因为它出现了一些变化，这种变化对于所有同学来说，都是一样的，但有些同学考前如果准备了一下，处理就会更从容一些，有些同学会在考试的时候搞的措手不及，三角函数判断正负和求值，之间没有什么区别，类型是一回事，所以这道题目对于我们来说，其实你发现某种意义上讲，他并不是我们熟悉的常规的倒数大题，这就是变化更多的一些地方，这种题目有没有稳定性，不再像以前题目的那样，给出一个函数解题式，决定函数的单调区间和最值，这个题目形式上变成了三角函数，第二他甚至连参数都没有看见，这是我要跟同学们强调的另外一个东西。多年来我们学函数倒数几乎只学一个东西，叫做讨论，求倒，另外画一个图像，列一个表，然后当当，讨论A在不同的情况下，函数有不同的单调性，是不是?是，但是不是一定是?不一定，函数倒数里面最重要的东西，其实是倒函数和原函数的关系，FX到变会到FX1，需要知道他们的对应关系，在2013年北京市高考文科和理科数学里面，尽管考的不一样，倒数大题都有一个重要特征，这个都没有，这个趋势在今年再一次得到了延续，我们在考研[微博]说的今年可能还是不怎么考参数，考一些没有参数，但是需要会算的题目。求证FX小于等于0，在不等号的关系，一般表现为最值问题，没有参数有定义的最值问题，看似有参数A和B，还是除以X，这个意义上我发现大家需要了解另外一个东西。

　　接下来在你们的复习和学习过程当中，依然非常重要。函数倒数的讨论是基本功，难一些的题目，变化一些的题目，就不再是考讨论这样一个技能，而是考察你对于倒数工具的深刻理解，倒数是干嘛用的?求完之后应该干什么?不是讨论，而是要体现一种转化关系，这里体现的是划归的东西，说白了其实考察的是我们对于不同类型的基本不等函数，你在学的时候，也许就需要注意这样一个变化，如果有可能，接下来很多题目还会这样考，你是不是应该重视。从这个题目开始，综合的时候，出题人更愿意去做一些变化，这个变化是接下来我们需要重点关注的。

　　另外一件事情，很有意思，我们还是回到最开始，文科和理科他们求同存异的关系，今年文科和理科很多地方有明显的差异，但是他们再次使用了相同的背景，解析几何大题比较难，对于很多同学来说不一定处理的特别好，但我们一起看看，这个东西对我们来说有哪些变化和哪些稳定性是我们可以把握的，如果我们考前预测，没有特别复杂的椭圆的变形，第一问起点低，所有同学都能会，但第二个处理的不是特别好，是因为什么?是因为同学们已经习惯了在相当一部分情况下，准确地说大部分同学心中在90%左右的情况下，我们处理的事情是题目里面会有一条直线，这条直线和椭圆方程连立，写一个二次方程，写判别式等等去进行表示，一定会做一些调整，这个调整在2010年进行过一次，考前专门带领同学们做过一件事情，就是看考试说明，接下来的考试中这一点依然很重要，2014年北京考试说明的数学样题里面，解析几何就是2010年，里面有一个重要的特征，这个重要的特征就是考的单洞点，点B在直线外点2上，这个相对比较简单和好写。文科考的是AB线的长短，理科考的是判断位置关系，很多同学觉得看到这种题目不知道怎么做，同学们看到下面一行字，解析几何的本质是坐标表示与计算，大家要记住这句话，什么意思?意思是很多时候看一个题目，特别是这个题目比较复杂的情况下，真的不一定能够完全看懂，不一定一下子想出解题办法，解析几何这个题目，能解出算出一些东西，解析几何我们做的事情，有两步，一步叫翻译，一步叫计算，翻译是把题目所有的汉字写成字母，根据方程和不等式去进行求解，去求函数的定义和直义。有点写坐标，也线列方程，有关系就写式子，你看这个题目你应该这样想，完全没有必要找方法，有点写坐标，O00，A点坐标，什么叫做在椭圆C上，就是这个公示，这是我们之间讲过的四个字叫做肖圆直线，直线OA和OB，等于零，于是我们又得到了一个关系，高考题还可以已成这个样子，以AB为直径，直径所谓的圆周角是直角，题目可以千变万化，但万变不离其中，至于这个题目求长度，求最值，变成一个函数，理科题目判断直线和关系，判断原心到直线的距离。解析几何印证了前面的东西，考察的不是解题方法和模型，题目会有变化，但在变化之中的稳定性，是我们必须要掌握一些基本技能，基本技能往往是数学思想，往往是出题人需要我们了解的数学的本质。这就是结合这样一些题目，来给大家讲的稳定与变化，有一些题目是基本稳定的，你要掌握的特别好，你要学会做的更快，有一些题目是稳中有变，你需要知道怎么变，有些题目看起来不太一样，很奇怪，很不熟悉，但是他的内核也是稳定的，如何把这些技能锤炼的更好一些。

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