2016高考数学提分专练及答案:解三角形及其应用

　　三、解答题

　　11.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(-1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.

　　解析：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获走私船(在D点)，

　　则CD=10t海里，BD=10t海里.

　　在ABC中，由余弦定理 ，得

　　BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A

　　=(-1)2+22-2(-1)·2·cos 120°=6，

　　BC=(海里).

　　由正弦定理知=，

　　sin ∠ABC===，

　　ABC=45°， B点在C点的正东方向上，

　　CBD=90°+30°=120°.

　　在BCD中，由正弦定理，得

　　=，

　　sin ∠BCD=

　　==，

　　BCD=30°， 缉私船沿北偏东60°的方向行驶.

　　又在BCD中，CBD=120°，BCD=30°，

　　D=30°，

　　BD=BC，即10t=，

　　t=小时≈15分钟.

　　故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.

　　12.已知向量m=sin(A-B)，sin，n=(1,2sin B)，m·n=sin 2C，其中A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角.

　　(1)求角C的大小;

　　(2)若sin A+sin B=2sin C，且SABC=，求边c的长.

　　解析：(1) m·n=sin(A-B)+2cos Asin B

　　=sin Acos B+cos Acos B=sin(A+B)，

　　在ABC中，A+B=π-C且0

　　sin(A+B)=sin C，

　　又 m·n=sin 2C，

　　sin C=sin 2C=2cos Csin C，

　　cos C=， C=.

　　(2) sin A+sin B=2sin C，

　　由正弦定理得a+b=2c，

　　SABC=absin C=ab=，得ab=4，

　　由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos C

　　=(a+b)2-3ab=4c2-12，

　　c=2.

　　13.在ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，已知b2+c2=a2+bc.

　　(1)求角A的大小;

　　(2)若2sin2+2sin2=1，试判断ABC的形状.

　　解析：(1)b2+c2=a2+bc，

　　所以cos A===，

　　又A(0，π)，得到A=.

　　(2) 2sin2+2sin2=1，

　　1-cos B+1-cos C=1，

　　cos B+cos C=1，

　　即cos B+cos=1，得到

　　sin=1，

　　0

　　B+=，

　　B=，ABC为等边三角形.

　　14.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2-cos 2A=.

　　(1)求A的度数;

　　(2)若a=，b+c=3，求b，c的值.

　　解析：(1) B+C=π-A，即=-，

　　由4sin2-cos 2A=，

　　得4cos2-cos 2A=，

　　即2(1+cos A)-(2cos2A-1)=，

　　整理得4cos2A-4cos A+1=0，

　　即(2cos A-1)2=0.

　　cos A=，又0°

　　(2)由A=60°，根据余弦定理cos A=，得=，

　　b2+c2-bc=3，

　　又b+c=3，

　　∴ b2+c2+2bc=9.

　　①-得bc=2.

　　解得或

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