2016高考数学提分专练及答案:圆锥曲线的定点 定值与最值

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　　一、选择题

　　1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有(　　)

　　A.|FP1|+|FP2|=|FP3|

　　B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2

　　C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|

　　D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|

　　答案：C　解题思路：抛物线的准线方程为x=-，由定义得|FP1|=x1+，|FP2|=x2+，|FP3|=x3+，则|FP1|+|FP3|=x1++x3+=x1+x3+p，2|FP2|=2x2+p，由2x2=x1+x3，得2|FP2|=|FP1|+|FP3|，故选C.

　　2.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A，B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为(　　)

　　A.4　　　　B.2　　　C.2　　　　D.

　　答案：C　命题立意：本题考查直线与抛物线及圆的位置关系的应用，难度中等.

　　解题思路：设直线l的方程为y=-x+b，联立直线与抛物线方程，消元得y2+8y-8b=0，因为直线与抛物线相切，故Δ=82-4×(-8b)=0，解得b=-2，故直线l的方程为x+y+2=0，从而A(-2,0)，B(0，-2)，因此过A，B两点最小圆即为以AB为直径的圆，其方程为(x+1)2+(y+1)2=2，而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，此时圆心(-1，-1)到准线的距离为1，故所截弦长为2=2.

　　3.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为(　　)

　　A.y2=9x 　　B.y2=6x

　　C.y2=3x 　　D.y2=x

　　答案：C　命题立意：本题考查抛物线定义的应用及抛物线方程的求解，难度中等.

　　解题思路：如图，分别过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为E，D，由抛物线定义可知|AE|=|AF|=3，|BC|=2|BF|=2|BD|，在RtBDC中，可知BCD=30°，故在RtACE中，可得|AC|=2|AE|=6，故|CF|=3，则GF即为ACE的中位线，故|GF|=p==，因此抛物线方程为y2=2px=3x.

　　4.焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)

　　A.(1,3) B.(1,3]

　　C.(3，+∞) D.[3，+∞)

　　答案：D　命题立意：本题主要考查双曲线的离心率问题，考查考生的化归与转化能力.

　　解题思路：设AF的中点C(xC,0)，由题意xC≤-a，即≤-a，解得e=≥3，故选D.

　　5.过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)

　　A. B.- C.± D.-

　　答案：B　命题透析：本题考查直线与圆的位置关系以及数形结合的数学思想.

　　思路点拨：由y=，得x2+y2=1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的上半圆，如图所示.

　　故SAOB=|OA||OB|·sin AOB=sin AOB，所以当sin AOB=1，即OAOB时，SAOB取得最大值，此时O到直线l的距离d=|OA|sin 45°=.设此时直线l的方程为y=k(x-)，即kx-y-k=0，则有=，解得k=±，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故k=-.

　　6.点P在直线l：y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“正点”，那么下列结论中正确的是(　　)

　　A.直线l上的所有点都是“正点”

　　B.直线l上仅有有限个点是“正点”

　　C.直线l上的所有点都不是“正点”

　　D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“正点”

　　答案：A　解题思路：本题考查直线与抛物线的定义.设A(m，n)，P(x，x-1)，则B(2m-x,2n-x+1)， A，B在y=x2上， n=m2,2n-x+1=(2m-x)2，消去n，整理得关于x的方程x2-(4m-1)x+2m2-1=0， Δ=8m2-8m+5>0恒成立， 方程恒有实数解.

　　二、填空题

　　7.设A，B为双曲线-=1(b>a>0)上两点，O为坐标原点.若OAOB，则AOB面积的最小值为________.

　　答案：　解题思路：设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-x，则点A(x1，y1)满足故x=，y=，

　　|OA|2=x+y=;

　　同理|OB|2=.

　　故|OA|2·|OB|2=·=.

　　=≤(当且仅当k=±1时，取等号)， |OA|2·|OB|2≥，

　　又b>a>0，

　　故SAOB=|OA|·|OB|的最小值为.

　　8.已知直线y=x与双曲线-=1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB=________.

　　答案：　解题思路：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由得y2=，y1+y2=0，y1y2=-，

　　x1+x2=0，x1x2=-4×.

　　由kPA·kPB=·====知kPA·kPB为定值.

　　9.设平面区域D是由双曲线y2-=1的两条渐近线和抛物线y2=-8x的准线所围成的三角形(含边界与内部).若点(x，y)D，则目标函数z=x+y的最大值为______.

　　答案：

　　3　解题思路：本题考查双曲线、抛物线的性质以及线性规划.双曲线y2-=1的两条渐近线为y=±x，抛物线y2=-8x的准线为x=2，当直线y=-x+z过点A(2,1)时，zmax=3.

　　三、解答题

　　10.已知抛物线y2=4x，过点M(0,2)的直线与抛物线交于A，B两点，且直线与x轴交于点C.

　　(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列;

　　(2)设=α，=β，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值;若不是，请说明理由.

　　解析：(1)证明：设直线的方程为：y=kx+2(k≠0)，

　　联立方程可得得

　　k2x2+(4k-4)x+4=0.

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，

　　则x1+x2=-，x1x2=，

　　|MA|·|MB|=|x1-0|·|x2-0|=，

　　而|MC|2=2=，

　　|MC|2=|MA|·|MB|≠0，

　　即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列.

　　(2)由=α，=β，得

　　(x1，y1-2)=α，

　　(x2，y2-2)=β，

　　即得：α=，β=，

　　则α+β=，

　　由(1)中代入得α+β=-1，

　　故α+β为定值且定值为-1.

　　11.如图，在平面直角坐标系xOy中，设点F(0，p)(p>0)，直线l：y=-p，点P在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点，过R，P分别作直线l1，l2，使l1PF，l2l，l1∩l2=Q.

　　(1)求动点Q的轨迹C的方程;

　　(2)在直线l上任取一点M作曲线C的两条切线，设切点为A，B，求证：直线AB恒过一定点;

　　(3)对(2)求证：当直线MA，MF，MB的斜率存在时，直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列.

　　解题思路：本题考查轨迹方程的求法及直线与抛物线的位置关系.(1)利用抛物线的定义即可求出抛物线的标准方程;(2)利用导数及方程根的思想得出两切点的直线方程，进一步求出直线恒过的定点;(3)分别利用坐标表示三条直线的斜率，从而化简证明即可.

　　解析：(1)依题意知，点R是线段PF的中点，且RQ⊥FP，

　　RQ是线段FP的垂直平分线. |QP|=|QF|.故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：x2=4py(p>0).

　　(2)设M(m，-p)，两切点为A(x1，y1)，B(x2，y2).

　　由x2=4py得y=x2，求导得y′=x.

　　两条切线方程为y-y1=x1(x-x1)，

　　y-y2=x2(x-x2)，

　　对于方程，代入点M(m，-p)得，

　　-p-y1=x1(m-x1)，又y1=x，

　　-p-x=x1(m-x1)，

　　整理得x-2mx1-4p2=0.

　　同理对方程有x-2mx2-4p2=0，

　　即x1，x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根.

　　x1+x2=2m，x1x2=-4p2.

　　设直线AB的斜率为k，k===(x1+x2)，

　　所以直线的方程为y-=(x1+x2)(x-x1)，展开得：

　　y=(x1+x2)x-，

　　将代入得：y=x+p.

　　直线恒过定点(0，p).

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