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2017年高考数学提分专项练习及答案(5)

来源:考试吧 2016-9-1 9:40:24 要考试,上考试吧! 模拟考场
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  一、选择题

  1.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10,则a1和d的值分别为(  )

  A.1 B.-2

  C.2 D.-1

  答案:D 解题思路:由得由两式得a1=,代入式中,+3d=·d3,化简得d9-3d3+2=0,

  即(d3-1)(d6+d3-2)=0,

  d≠1,由d6+d3-2=0,得d=-,a1=-d=.

  2.已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an,nN*,且a5=.若函数f(x)=sin 2x+2cos2,记yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为(  )

  A.0 B.-9

  C.9 D.1

  答案:C 命题立意:本题考查等差数列的定义与性质及诱导公式的应用,考查综合分析能力,难度中等.

  解题思路:据已知得2an+1=an+an+2,即数列{an}为等差数列,又f(x)=sin 2x+2×=sin 2x+1+cos x,因为a1+a9=a2+a8=…=2a5=π,故cos a1+cos a9=cos a2+cos a8=…=cos a5=0,又2a1+2a9=2a2+2a8=…=4a5=2π,故sin 2a1+sin 2a9=sin 2a2+sin 2a8=…=sin 2a5=0,故数列{yn}的前9项之和为9,故选C.

  3.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=1,a2=3,记Sn=a1+a2+…+an,则下列结论正确的是(  )

  A.a100=-1,S100=5 B.a100=-3,S100=5

  C.a100=-3,S100=2 D.a100=-1,S100=2

  答案:A 命题立意:本题考查数列的性质与求和,难度中等.

  解题思路:依题意,得an+2=an+1-an=-an-1,即an+3=-an,an+6=-an+3=an,数列{an}的项是以6为周期重复性地出现,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a4)+(a2+a5)+(a3+a6)=0;注意到100=6×16+4,因此S100=16×0+a1+a2+a3+a4=(a1+a4)+a2+a3=a2+(a2-a1)=2a2-a1=5,a100=a4=-a1=-1,故选A.

  4.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}前n项的和,则(nN*)的最小值为(  )

  A.4 B.3

  C.2-2 D.

  答案:A 命题立意:本题考查等差数列的通项公式与求和公式以及均值不等式的应用,难度中等.

  解题思路:据题意由a1,a3,a13成等比数列可得(1+2d)2=1+12d,解得d=2,故an=2n-1,Sn=n2,因此====(n+1)+-2,根据均值不等式,知=(n+1)+-2≥2-2=4,当n=2时取得最小值4,故选A.

  5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若-am

  A.Sm>0,且Sm+1<0 B.Sm<0,且Sm+1>0

  C.Sm>0,且Sm+1>0 D.Sm<0,且Sm+1<0

  答案:A 命题立意:本题考查等差数列的性质及前n项和公式的应用,难度中等.

  解题思路:据已知可得a1+am>0,a1+am+1<0,又Sm=>0,Sm+1=<0,故选A.

  6.在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数),前n项和为Sn=3n+k,则实数k为(  )

  A.-1 B.0

  C.1 D.2

  答案:A 命题立意:本题考查等比数列的定义、数列的前n项和公式与通项间的关系,难度中等.

  解题思路:依题意得,数列{an}是等比数列,a1=3+k,a2=S2-S1=6,a3=S3-S2=18,62=18(3+k),解得k=-1,故选A.

  二、填空题

  7.已知数列{an}的首项为2,数列{bn}为等差数列且bn=an+1-an(nN*).若b2=-2,b7=8,则a8=________.

  答案:16 解题思路: {bn}为等差数列,且b2=-2,b7=8,设其公差为d,

  b7-b2=5d,即8+2=5d. d=2.

  bn=-2+(n-2)×2=2n-6.

  an+1-an=2n-6.

  由a2-a1=2×1-6,a3-a2=2×2-6,…,an-an-1=2×(n-1)-6,累加得:an-a1=2×(1+2+…+n-1)-6(n-1)=n2-7n+6,

  an=n2-7n+8. a8=16.

  8.公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1,ak2,ak3,…构成等比数列,且k1=1,k2=2,k3=6,则k4=________.

  答案:22 命题立意:本题考查等差与等比数列的定义与通项公式的应用,难度中等.

  解题思路:据题意知等差数列的a1,a2,a6成等比数列,设等差数列的公差为d,则有(a1+d)2=a1(a1+5d),

  解得d=3a1,故a2=4a1,a6=16a1ak4=64a1=a1+(k4-1)(3a1),解得k4=22.

  9.已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为________.

  答案: 命题立意:本题主要考查累加法,难度中等.

  解题思路:因为a1=33,an+1-an=2n,故利用累加法表示.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1,那么可知==n+-1,借助于函数的性质可知当n=6时,取得最小值为.

  10.已知数列{an}满足a1=1,an=(n≥2),则数列{an}的通项公式为an=________.

  答案: 命题立意:本题主要考查等差数列的定义与通项公式等知识,意在考查考生的观察能力、化归与转化能力、运算能力.

  解题思路:依题意,得-=(n≥2),因此数列是以1为首项、为公差的等差数列,于是有=1+(n-1),an=.

  三、解答题

  11.已知Sn是正数数列{an}的前n项和,S,S,…,S,…是以3为首项,以1为公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列,其前四项之和为120,第二项与第四项之和为90.

  (1)求an,bn;

  (2)从数列中能否挑出唯一的无穷等比数列,使它的各项和等于?若能的话,请写出这个数列的第一项和公比;若不能的话,请说明理由.

  解析:(1){S}是以3为首项,以1为公差的等差数列,

  所以S=3+(n-1)=n+2.

  因为an>0,所以Sn=(nN*).

  当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,

  又a1=S1=,

  所以an=(nN*).

  设{bn}的首项为b1,公比为q,则有

  所以即bn=3n(nN*).

  (2)=n,设可以挑出一个无穷等比数列{cn},

  首项为c1=p,公比为k(p,kN*),它的各项和等于=,则有=,

  所以p=.

  当p≥k时,3p-3p-k=8,即3p-k(3k-1)=8,

  因为p,kN*,所以只有当p-k=0,k=2,即p=k=2时,数列{cn}的各项和为.

  当pp,右边含有3的因数,而左边非3的倍数,故不存在p,kN*,所以存在唯一的等比数列{cn},首项为,公比为,使它的各项和等于.

  12.已知数列{an}是公比大于1的等比数列,对任意的nN*,有an+1=a1+a2+…+an-1+an+.

  (1)求数列{an}的通项公式;

  (2)设数列{bn}满足:bn=(log3 a1+log3 a2+…+log3 an+log3 t)(nN*),若{bn}为等差数列,求实数t的值及数列{bn}的通项公式.

  解析:(1)解法一:设{an}的公比为q,

  则由题设,得

  即

  由-,得a1q2-a1q=-a1+a1q,

  即2a1q2-7a1q+3a1=0.

  a1≠0, 2q2-7q+3=0,

  解得q=(舍去)或q=3.

  将q=3代入,得a1=1,

  an=3n-1.

  解法二:设{an}的公比为q,则由已知,得

  a1qn=+a1qn-1+,

  即a1qn=qn-+,

  比较系数得

  解得(舍去)或 an=3n-1.

  (2)由(1),得

  bn=(log3 30+log3 31+…+log3 3n-1+log3 t)

  =[1+2+…+(n-1)+log3 t]

  =

  =+log3 t.

  {bn}为等差数列,

  bn+1-bn等于一个与n无关的常数,

  而bn+1-bn=-+log3 t

  =-log3 t,

  log3 t=0, t=1,此时bn=.

  13.已知数列{an}的前n项和Sn=-an-n-1+2(nN*),数列{bn}满足bn=2n·an.

  (1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

  (2)设cn=log2,数列的前n项和为Tn,求满足Tn<(nN*)的n的最大值.

  解析:(1)证明:在Sn=-an-n-1+2中,

  令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,得a1=.

  当n≥2时,Sn-1=-an-1-n-2+2,

  an=Sn-Sn-1=-an+an-1+n-1,

  即2an=an-1+n-1.

  2n·an=2n-1·an-1+1.

  bn=2n·an, bn=bn-1+1.

  又b1=2a1=1, {bn}是以1为首项,1为公差的等差数列.

  于是bn=1+(n-1)·1=n, an=.

  (2) cn=log2=log22n=n,

  ==-.

  Tn=++…+=1+--.

  由Tn<,得1+--<,即+>,f(n)=+单调递减,

  f(3)=,f(4)=,f(5)=,

  n的最大值为4.

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