2018高考数学备考：用导数证明不等式例题解析!

　　导数的运算

　　1、常见函数的导数公式：

　　常数函数的导数：;

　　幂函数的导数：;

　　如下：

　　;

　　三角函数的导数：;

　　对数函数的导数：

　　指数函数的导数：

　　2、求导数的法则

　　(1)和与差函数的导数：.

　　由此得多项式函数导数

　　(2)积的函数的导数：,

　　特例[C·f(x)]'=Cf'(x)。

　　如：①已知函数的导数为，则_____(答：);

　　②函数的导数为__________(答：);

　　③若对任意，，则是______(答：)

　　(3)商的函数的导数：

　　例1、求下列导数

　　(1)y =;(2)y =x · sin x · ln x;

　　(3)y =;(4)y =.

　　解：(1)∵y ==

　　∴

　　(2)y'=(x · sin x · ln x) '=(x · sin x) ' · ln x+(x · sin x )( ln x) '

　　=[x'sinx+x(sinx) ']·lnx+(x · sin x )

　　=[sinx+xcosx]lnx+sinx

　　如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行;求导数前的变形，目的在于简化运算;求导数后应对结果进行整理化简.

　　(3)y'=

　　(4)∵y ==

　　∴y'=

　　例2、求函数的导数

　　①y=(2 x2-5 x +1)ex

　　②y=

　　解：①y'=(2 x2-5 x +1)′ex+(2 x2-5 x +1)(ex)′=(2x2-x-4)ex

　　②

　　∴y'

　　例3、已知曲线C：y =3 x 4-2 x3-9 x2+4

　　(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;

　　(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点?

　　解：(1)把x =1代入C的方程，求得y =-4.

　　∴切点为(1，-4).

　　Y'=12 x3-6 x2-18 x，

　　∴切线斜率为k =12-6-18=-12.

　　∴切线方程为y +4=-12(x-1)，即

　　y=-12 x +8.

　　由

　　得

　　3 x 4-2 x3 -9 x2+12 x -4=0

　　(x -1) 2 (x +2) (3 x -2)=0

　　x =1，-2，.

　　代入y =3 x 4-2 x 3 -9 x 2 +4，求得y =-4，32，0，即公共点为(1，-4)(切点)，(-2，32)，(，0).

　　除切点外，还有两个交点(-2，32)、(，0).

　　直线和圆，直线和椭圆相切，可以用只有一个公共点来判定.一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线.因此，曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点.

　　例4、曲线S：y =x3-6 x 2-x +6哪一点切线的斜率最小?

　　设此点为P(x0，y0).证明：曲线S关于P中心对称.

　　解：y'=3 x2-12 x -1

　　当x ==2时，y′有最小值，故x 0=2，

　　由P∈S知：y 0=23-6 · 22-2+6=-12

　　即在P(2，-12)处切线斜率最小.

　　设Q(x，y)∈S，即y =x3-6 x2-x +6

　　则与Q关于P对称的点为R(4-x，-24-y)，只需证R的坐标满足S的方程即可.

　　(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6

　　=64-48 x +12 x 2 -x 3-6(16-8 x +x2)+x +2

　　=-x 3 +6 x 2 +x -30

　　=-x 3 +6 x2 +x -6-24

　　=-y-24

　　故R∈S，由Q点的任意性，S关于点P中心对称.

　　求切点时，要将取最小值的x值代回原方程.

　　例5、一质点的运动方程为s(t)=asint+bcost(a>0)，若速度v(t)的最大值为，且对任意的t0∈R,在t=t0与t=-t0时速度相同，求a、b的值。

　　解：v(t)=s(t)=acost-bsint

　　∵v(t)的最大值为∴a2+b2=

　　又∵在t=t0与t=-t0时速度相同

　　∴(a+b)(cost0-sint0)=0且对任意的t0∈R且a>0

　　∴(a+b) =0，∴a=，b=-

　　用导数证明不等式，关键在于构造函数，然后在相应区间上用导数的相关知识判别其单调性，再利用单调性得到所证明的不等式。

　　例1、已知x∈(0，)，

　　求证：sinx

　　证明：构造函数

　　f(x)=x-sinx，

　　g(x)=tanx-x，x∈(0，)，

　　则f'(x)=1-cosx>0，

　　g'(x)=sec2x-1>0。

　　所以f(x)，g(x)在(0，)内是单调递增函数，故f(x) >f(0)=0，g(x) >g(0)=0，

　　即x>sinx，tanx>x，

　　故sinx

　　例2、已知m，n为正整数，且1(1+n)m。

　　分析：将待证不等式两边取对数，得nln(1+m) >mln(1+n)，即证明成立即可。

　　证明：构造函数

　　f(x)=，求导，得，所以f(x)在[2，+∞)上是减函数。由2≤mf(n)，

　　即，

　　nln(1+m) >mln(1+n)，

　　所以ln(1+m)n>ln(1+n)n，即(1+m)n>(1+n)m。

　　例3、已知函数f(x)=x(x-a)(x-b)，其中0

　　证明：易求得

　　f'(x)=3x2-2(a+b)x+ab。由f(x)在x=s及x=t取到极值，知s，t是二次方程f'(x)=0的两实根，

　　又f'(0)=ab>0，

　　f'(a)=a2-ab=a(a-b) <0,

　　f'(b)=b2-ab=b(b-a) >0,即f'(x)=0在区间(0，a)与(a，b)内分别有一个实根。由s

　　例4、设函数f(x)=ln(1+x)-x，

　　g(x)=xlnx，0

　　证明：0

　　证明：由g(x)=xlnx，得g'(x)=lnx+1。构造函数F(x)=g(a)+ g(x)-2g()，则F'(x)=g'(x)-2[g()]'=lnx-ln。

　　当0a时，F'(x) >0，所以F(x)在(a，+∞)上为增函数。于是当x=a时，F(x)有极小值F(a)。因为F(a)=0，b>a，所以F(b)>0，

　　即0

　　设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，则G'(x)=lnx-ln

　　=lnx-ln(a+x)。

　　当x>0时，G'(x) <0，所以G(x)在(0，+∞)上为减函数。因为G(a)=0，所以G(b)<0，即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2。综上所述，0

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