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2018高考数学备考:用导数证明不等式例题解析!

来源:考试吧 2018-4-25 9:00:00 要考试,上考试吧! 模拟考场
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  导数的运算

  1、常见函数的导数公式:

  常数函数的导数:;

  幂函数的导数:;

  如下:

  

  ;

  三角函数的导数:;

  对数函数的导数:

  指数函数的导数:

  2、求导数的法则

  (1)和与差函数的导数:.

  由此得多项式函数导数

  (2)积的函数的导数:,

  特例[C·f(x)]'=Cf'(x)。

  如:①已知函数的导数为,则_____(答:);

  ②函数的导数为__________(答:);

  ③若对任意,,则是______(答:)

  (3)商的函数的导数:

  例1、求下列导数

  (1)y =;(2)y =x · sin x · ln x;

  (3)y =;(4)y =.

  解:(1)∵y ==

  ∴

  

  (2)y'=(x · sin x · ln x) '=(x · sin x) ' · ln x+(x · sin x )( ln x) '

  =[x'sinx+x(sinx) ']·lnx+(x · sin x )

  =[sinx+xcosx]lnx+sinx

  如遇求多个积的导数,可以逐层分组进行;求导数前的变形,目的在于简化运算;求导数后应对结果进行整理化简.

  (3)y'=

  (4)∵y ==

  ∴y'=

  

  例2、求函数的导数

  ①y=(2 x2-5 x +1)ex

  ②y=

  解:①y'=(2 x2-5 x +1)′ex+(2 x2-5 x +1)(ex)′=(2x2-x-4)ex

  ②

  ∴y'

  例3、已知曲线C:y =3 x 4-2 x3-9 x2+4

  (1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;

  (2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点?

  解:(1)把x =1代入C的方程,求得y =-4.

  ∴切点为(1,-4).

  Y'=12 x3-6 x2-18 x,

  ∴切线斜率为k =12-6-18=-12.

  ∴切线方程为y +4=-12(x-1),即

  y=-12 x +8.

  由

  

  得

  3 x 4-2 x3 -9 x2+12 x -4=0

  (x -1) 2 (x +2) (3 x -2)=0

  x =1,-2,.

  代入y =3 x 4-2 x 3 -9 x 2 +4,求得y =-4,32,0,即公共点为(1,-4)(切点),(-2,32),(,0).

  除切点外,还有两个交点(-2,32)、(,0).

  直线和圆,直线和椭圆相切,可以用只有一个公共点来判定.一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线.因此,曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点.

  例4、曲线S:y =x3-6 x 2-x +6哪一点切线的斜率最小?

  设此点为P(x0,y0).证明:曲线S关于P中心对称.

  解:y'=3 x2-12 x -1

  当x ==2时,y′有最小值,故x 0=2,

  由P∈S知:y 0=23-6 · 22-2+6=-12

  即在P(2,-12)处切线斜率最小.

  设Q(x,y)∈S,即y =x3-6 x2-x +6

  则与Q关于P对称的点为R(4-x,-24-y),只需证R的坐标满足S的方程即可.

  (4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6

  =64-48 x +12 x 2 -x 3-6(16-8 x +x2)+x +2

  =-x 3 +6 x 2 +x -30

  =-x 3 +6 x2 +x -6-24

  =-y-24

  故R∈S,由Q点的任意性,S关于点P中心对称.

  求切点时,要将取最小值的x值代回原方程.

  例5、一质点的运动方程为s(t)=asint+bcost(a>0),若速度v(t)的最大值为,且对任意的t0∈R,在t=t0与t=-t0时速度相同,求a、b的值。

  解:v(t)=s(t)=acost-bsint

  ∵v(t)的最大值为∴a2+b2=

  又∵在t=t0与t=-t0时速度相同

  ∴(a+b)(cost0-sint0)=0且对任意的t0∈R且a>0

  ∴(a+b) =0,∴a=,b=-

  用导数证明不等式,关键在于构造函数,然后在相应区间上用导数的相关知识判别其单调性,再利用单调性得到所证明的不等式。

  例1、已知x∈(0,),

  求证:sinx

  证明:构造函数

  f(x)=x-sinx,

  g(x)=tanx-x,x∈(0,),

  则f'(x)=1-cosx>0,

  g'(x)=sec2x-1>0。

  所以f(x),g(x)在(0,)内是单调递增函数,故f(x) >f(0)=0,g(x) >g(0)=0,

  即x>sinx,tanx>x,

  故sinx

  例2、已知m,n为正整数,且1(1+n)m。

  分析:将待证不等式两边取对数,得nln(1+m) >mln(1+n),即证明成立即可。

  证明:构造函数

  f(x)=,求导,得,所以f(x)在[2,+∞)上是减函数。由2≤mf(n),

  即,

  nln(1+m) >mln(1+n),

  所以ln(1+m)n>ln(1+n)n,即(1+m)n>(1+n)m。

  例3、已知函数f(x)=x(x-a)(x-b),其中0

  证明:易求得

  f'(x)=3x2-2(a+b)x+ab。由f(x)在x=s及x=t取到极值,知s,t是二次方程f'(x)=0的两实根,

  又f'(0)=ab>0,

  f'(a)=a2-ab=a(a-b) <0,

  f'(b)=b2-ab=b(b-a) >0,即f'(x)=0在区间(0,a)与(a,b)内分别有一个实根。由s

  例4、设函数f(x)=ln(1+x)-x,

  g(x)=xlnx,0

  证明:0

  证明:由g(x)=xlnx,得g'(x)=lnx+1。构造函数F(x)=g(a)+ g(x)-2g(),则F'(x)=g'(x)-2[g()]'=lnx-ln。

  当0a时,F'(x) >0,所以F(x)在(a,+∞)上为增函数。于是当x=a时,F(x)有极小值F(a)。因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,

  即0

  设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则G'(x)=lnx-ln

  =lnx-ln(a+x)。

  当x>0时,G'(x) <0,所以G(x)在(0,+∞)上为减函数。因为G(a)=0,所以G(b)<0,即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2。综上所述,0


 

  

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