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2012年复旦大学自主招生千分考试题答案解析

来源:考试吧(Exam8.com) 2012-11-13 16:40:13 要考试,上考试吧! 万题库
 

  20. z5+z-1=0,且|z|=1,求z的值.

  21.任取1个小于3位的正整数,它的3次方的十位与个位数均是1,概率是多少?

  解:设正整数百位及以上的形式为A,十位个位形式为B,则这个正整数的值=100A + B

  其立方

  = (100A + B) ³

  = 1000000A³ + 3*10000A²*B + 3*100A*B² + B³

  = 100(10000A³ + 300A²B + 300AB² ) + B³

  显然上式前半部分完全不影响立方的最后两位数。即求正整数B(B< 100)使得B³最后两位为11。

  显然B的个位只能为1,令B = 10X + 1

  (10X + 1)³ = 1000X³ + 300X + 30X + 1 = 100(10X³ + 3X) + 10*3X + 1

  则可知3X 的末位是1,解得X = 7。B = 71。

  因此每100个连续正整数中有且仅有1个正整数(末位为71的),可使他的立方最后两位数都是1。

  这个概率 = 1/100 = 1%

  如果在Z/100Z中考虑,那么是古典概型:假设这个数在Z/100Z中是10x+y,x、y都是1位数,三次方就是

  (10x+y)^3=y^3+30xy^2

  两侧mod10,所以y^3以1结尾,所以y=1。

  y=1那么1+30x=11

  30x=10,枚举知道x=7。

  所以71是Z/100Z中惟一一个三次方等于11的,Z/100Z中100个元素,按照古典概型,概率为1/100。

  (任取3个小于等于5的正整数,则它们的平方和小于等于25的概率为?)

  22.若x3+px+q=0的三个解成等比数列,那么公比是多少?

  

2012年复旦大学自主招生千分考试题答案解析


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