2016年高考数学备考：专项练习及答案(4)

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　　题型一　定值、定点问题

　　例1　已知椭圆C：+=1经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点.

　　(1)求椭圆C的方程;

　　(2)若直线l交y轴于点M，且=λ，=μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值?若是，求出λ+μ的值;否则，请说明理由.

　　破题切入点　(1)待定系数法.

　　(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式=λ，=μ.把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ+μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值.

　　解　(1)依题意得b=，e==，a2=b2+c2，

　　∴a=2，c=1，∴椭圆C的方程为+=1.

　　(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，

　　又F坐标为(1,0)，设直线l方程为

　　y=k(x-1)，求得l与y轴交于M(0，-k)，

　　设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由

　　消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，

　　∴x1+x2=，x1x2=，

　　又由=λ，∴(x1，y1+k)=λ(1-x1，-y1)，

　　∴λ=，同理μ=，

　　∴λ+μ=+=

　　所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ+μ的值为定值-.

　　题型二　定直线问题

　　例2　在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A，B两点.

　　(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值;

　　(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在，求出l的方程;若不存在，请说明理由.

　　破题切入点　假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解.

　　解　方法一　(1)依题意，点N的坐标为N(0，-p)，

　　可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　直线AB的方程为y=kx+p，

　　与x2=2py联立得

　　消去y得x2-2pkx-2p2=0.

　　由根与系数的关系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.

　　于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|

　　=p|x1-x2|=p

　　=p=2p2，

　　∴当k=0时，(S△ABN)min=2p2.

　　(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，

　　AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，

　　则O′H⊥PQ，Q′点的坐标为(，).

　　∵O′P=AC==，

　　O′H==|2a-y1-p|，

　　∴PH2=O′P2-O′H2

　　=(y+p2)-(2a-y1-p)2

　　=(a-)y1+a(p-a)，

　　∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)].

　　令a-=0，得a=，

　　此时PQ=p为定值，故满足条件的直线l存在，

　　其方程为y=，即抛物线的通径所在的直线.

　　方法二　(1)前同方法一，再由弦长公式得

　　AB=|x1-x2|

　　=·

　　=·

　　=2p·，

　　又由点到直线的距离公式得d=.

　　从而S△ABN=·d·AB

　　=·2p··

　　=2p2.

　　∴当k=0时，(S△ABN)min=2p2.

　　(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，

　　则以AC为直径的圆的方程为

　　(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，

　　将直线方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，

　　则Δ=x-4(a-p)(a-y1)

　　=4[(a-)y1+a(p-a)].

　　设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

　　则有PQ=|x3-x4|=

　　=2.

　　令a-=0，得a=，

　　此时PQ=p为定值，故满足条件的直线l存在，

　　其方程为y=，即抛物线的通径所在的直线.

　　题型三　定圆问题

　　例3　已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆Ck：x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点Ak.

　　(1)求椭圆G的方程;

　　(2)求△AkF1F2的面积;

　　(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

　　破题切入点　(1)根据定义，待定系数法求方程.

　　(2)直接求.

　　(3)关键看长轴两端点.

　　解　(1)设椭圆G的方程为+=1(a>b>0)，半焦距为c，则解得

　　所以b2=a2-c2=36-27=9.

　　所以所求椭圆G的方程为+=1.

　　(2)点Ak的坐标为(-k,2)，

　　S△AkF1F2=×|F1F2|×2=×6×2=6.

　　(3)若k≥0，由62+02+12k-0-21=15+12k>0，可知点(6,0)在圆Ck外;

　　若k<0，由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0，可知点(-6,0)在圆Ck外.

　　所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G.

　　即不存在圆Ck包围椭圆G.

　　总结提高　(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.

　　(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y-y0=k(x-x0)，则直线必过定点(x0，y0);若得到了直线方程的斜截式：y=kx+m，则直线必过定点(0，m).

　　(3)定直线问题一般都为特殊直线x=x0或y=y0型.

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