2016年高考数学备考：专项练习及答案(4)

　　1.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.

　　(1)求k的取值范围;

　　(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量+与共线?如果存在，求k值;如果不存在，请说明理由.

　　解　(1)由已知条件，得直线l的方程为y=kx+，

　　代入椭圆方程得+(kx+)2=1.

　　整理得(+k2)x2+2kx+1=0.①

　　直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4(+k2)=4k2-2>0，

　　解得k<-或k>.

　　即k的取值范围为(-∞，-)∪(，+∞).

　　(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

　　则+=(x1+x2，y1+y2)，

　　由方程①，得x1+x2=-.②

　　又y1+y2=k(x1+x2)+2.③

　　而A(，0)，B(0,1)，=(-，1).

　　所以+与共线等价于x1+x2=-(y1+y2)，

　　将②③代入上式，解得k=.

　　由(1)知k<-或k>，

　　故不存在符合题意的常数k.

　　2.已知双曲线方程为x2-=1，问：是否存在过点M(1,1)的直线l，使得直线与双曲线交于P、Q两点，且M是线段PQ的中点?如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由.

　　解　显然x=1不满足条件，设l：y-1=k(x-1).

　　联立y-1=k(x-1)和x2-=1，

　　消去y得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0，

　　由Δ>0，得k<，x1+x2=，

　　由M(1,1)为PQ的中点，得==1，

　　解得k=2，这与k<矛盾，

　　所以不存在满足条件的直线l.

　　3.设椭圆E：+=1(a，b>0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点.

　　(1)求椭圆E的方程;

　　(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥?若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围;若不存在，请说明理由.

　　解　(1)因为椭圆E：+=1(a，b>0)过M(2，)，N(，1)两点，

　　所以解得

　　所以椭圆E的方程为+=1.

　　(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，设该圆的切线方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程组得x2+2(kx+m)2=8，

　　即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0，

　　则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0，即8k2-m2+4>0.

　　故

　　y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

　　=-+m2

　　=.

　　要使⊥，需使x1x2+y1y2=0，

　　即+=0，

　　所以3m2-8k2-8=0，

　　所以k2=≥0.

　　又8k2-m2+4>0，所以所以m2≥，

　　即m≥或m≤-，

　　因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，

　　所以圆的半径为r=，

　　r2===，r=，

　　所求的圆为x2+y2=，

　　此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤-，

　　而当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆+=1的两个交点为(，±)或(-，±)满足⊥，综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥.

　　4.(2014·重庆)如图，设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为.

　　(1)求该椭圆的标准方程.

　　(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在，求出圆的方程;若不存在，请说明理由.

　　解　(1)设F1(-c,0)，F2(c,0)，其中c2=a2-b2.

　　由=2，得DF1==c，

　　从而S△DF1F2=DF1·F1F2=c2=，故c=1，

　　从而DF1=.

　　由DF1⊥F1F2，得DF=DF+F1F=，

　　因此DF2=.

　　所以2a=DF1+DF2=2，

　　故a=，b2=a2-c2=1.

　　因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1.

　　(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.

　　由圆和椭圆的对称性，易知，x2=-x1，y1=y2.

　　由(1)知F1(-1,0)，F2(1,0)，

　　所以=(x1+1，y1)，=(-x1-1，y1)，

　　再由F1P1⊥F2P2，得-(x1+1)2+y=0.

　　由椭圆方程得1-=(x1+1)2，即3x+4x1=0，

　　解得x1=-或x1=0.

　　当x1=0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在.

　　当x1=-时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.

　　设C(0，y0)，

　　由CP1⊥F1P1，得·=-1.

　　而求得y1=，故y0=.

　　圆C的半径CP1= =.

　　综上，存在满足题设条件的圆，

　　其方程为x2+(y-)2=.

　　5.(2014·江西)如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).

　　(1)证明：动点D在定直线上;

　　(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y=2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：MN-MN为定值，并求此定值.

　　(1)证明　依题意可设AB方程为y=kx+2，

　　代入x2=4y，

　　得x2=4(kx+2)，即x2-4kx-8=0.

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2=-8.

　　直线AO的方程为y=x;

　　BD的方程为x=x2.

　　解得交点D的坐标为

　　注意到x1x2=-8及x=4y1，

　　则有y===-2.

　　因此动点D在定直线y=-2上(x≠0).

　　(2)解　依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b(a≠0)，代入x2=4y得x2=4(ax+b)，

　　即x2-4ax-4b=0.

　　由Δ=0得(4a)2+16b=0，化简整理得b=-a2.

　　故切线l的方程可写为y=ax-a2.

　　分别令y=2，y=-2得N1，N2的坐标为

　　N1(+a,2)，N2(-+a，-2)，

　　则MN-MN=(-a)2+42-(+a)2=8，

　　即MN-MN为定值8.

　　6.(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.

　　(1)求曲线Γ的方程.

　　(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.

　　解　方法一　(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

　　依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2=4y.

　　(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变.证明如下：

　　由(1)知抛物线Γ的方程为y=x2，

　　设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0=x，

　　由y′=x，得切线l的斜率

　　k=y′|x=x0=x0，

　　所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0)，

　　即y=x0x-x.

　　由得A(x0,0).

　　由得M(x0+，3).

　　又N(0,3)，所以圆心C(x0+，3)，

　　半径r=MN=|x0+|，

　　AB=

　　= =.

　　所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变.

　　方法二　(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

　　则|y-(-3)|-=2，

　　依题意，点S(x，y)只能在直线y=-3的上方，所以y>-3，所以=y+1，

　　化简，得曲线Γ的方程为x2=4y.

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