题型一 直线和椭圆的位置关系
例1 如图所示,椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,x轴被曲线C2:y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长.C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E.
(1)求C1,C2的方程;
(2)求证:MA⊥MB;
(3)记△MAB,△MDE的面积分别为S1,S2,若=λ,求λ的取值范围.
破题切入点 (1)利用待定系数法求解曲线C1,C2的方程.
(2)设出直线AB和曲线C2联立,利用坐标形式的向量证明.
(3)将S1和S2分别表示出来,利用基本不等式求最值.
(1)解 由题意,知=,
所以a2=2b2.
又2=2b,得b=1.
所以曲线C2的方程:y=x2-1,椭圆C1的方程:+y2=1.
(2)证明 设直线AB:y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意,知M(0,-1).
则x2-kx-1=0,
·=(x1,y1+1)·(x2,y2+1)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1
=-(1+k2)+k2+1=0,
所以MA⊥MB.
(3)解 设直线MA的方程:y=k1x-1,直线MB的方程:y=k2x-1,
由(2)知k1k2=-1,M(0,-1),
由解得或
所以A(k1,k-1).
同理,可得B(k2,k-1).
故S1=MA·MB=·|k1||k2|.
由解得或
所以D(,).
同理,可得E(,).
故S2=MD·ME
=·,
=λ==≥,
则λ的取值范围是[,+∞).
题型二 直线和双曲线的位置关系
例2 已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.
(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.
破题切入点 (1)联立方程组,利用Δ>0求出k的取值范围.
(2)联立方程用根与系数的关系求解.
解 (1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,
则方程组有两个不同的实数根,
整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
∴
解得-|x2|时,
S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)
=|x1-x2|;
当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时,
S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)
=|x1-x2|.
∴S△OAB=|x1-x2|=,∴(x1-x2)2=(2)2,
即()2+=8,解得k=0或k=±.
又∵-0,b>0)的上焦点为F,上顶点为A,B为虚轴的端点,离心率e=,且S△ABF=1-.抛物线N的顶点在坐标原点,焦点为F.
(1)求双曲线M和抛物线N的方程;
(2)设动直线l与抛物线N相切于点P,与抛物线的准线相交于点Q,则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点?如果是,试求出该点的坐标,如果不是,请说明理由.
破题切入点 (1)根据双曲线的性质,用a,c表示已知条件,建立方程组即可求解双曲线的方程,然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程.
(2)设出点P的坐标,根据导数的几何意义求出切线方程,并求出点Q的坐标,然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程,将问题转化为方程恒成立的问题来解决.
解 (1)在双曲线中,c=,
由e=,得=,
解得a=b,故c=2b.
所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b
=1-,解得b=1.
所以a=,c=2,其上焦点为F(0,2).
所以双曲线M的方程为-x2=1,
抛物线N的方程为x2=8y.
(2)由(1)知抛物线N的方程为y=x2,
故y′=x,抛物线的准线为y=-2.
设P(x0,y0),则x0≠0,y0=x,
且直线l的方程为y-x=x0(x-x0),
即y=x0x-x.
由得
所以Q(,-2).
假设存在点R(0,y1),使得以PQ为直径的圆恒过该点,
也就是·=0对于满足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立.
由于=(x0,y0-y1),=(,-2-y1),
由·=0,
得x0·+(y0-y1)(-2-y1)=0,
整理得-2y0-y0y1+2y1+y=0,
即(y+2y1-8)+(2-y1)y0=0,(*)
由于(*)式对满足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立,
所以解得y1=2.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点,定点坐标为(0,2).
总结提高 直线和圆锥曲线的位置关系问题,万变不离其宗,构建属于自己的解题模板,形成一定的解题思路,利用数形结合思想来加以解决.
1. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l过F且与抛物线C交于M,N两点,已知当直线l与x轴垂直时,△OMN的面积为2(O为坐标原点).
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在直线l,使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上,若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解 (1)当直线l与x轴垂直时,则|MN|=2p,
∴S△OMN=·2p·==2,即p=2.
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)∵直线l与x轴垂直时,不满足.设正方形的第三个顶点为P.
故可设直线l:y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),P(0,y0),
联立可化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
则代入直线l可得MN的中点为(,),
则线段MN的垂直平分线为y-=-(x-1-),
故P(0,+).
又·=0,则x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0.
即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0.
1-4-y0·+y=0,化解得ky-4y0-3k=0,
由y0=+代入上式,化简得(3k4-4)(k2+1)=0.
解得k=± .∴存在直线l:y=± (x-1).
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