2016年高考数学备考：专项练习及答案(5)

　　题型一　直线和椭圆的位置关系

　　例1　如图所示，椭圆C1：+=1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长.C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

　　(1)求C1，C2的方程;

　　(2)求证：MA⊥MB;

　　(3)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的取值范围.

　　破题切入点　(1)利用待定系数法求解曲线C1，C2的方程.

　　(2)设出直线AB和曲线C2联立，利用坐标形式的向量证明.

　　(3)将S1和S2分别表示出来，利用基本不等式求最值.

　　(1)解　由题意，知=，

　　所以a2=2b2.

　　又2=2b，得b=1.

　　所以曲线C2的方程：y=x2-1，椭圆C1的方程：+y2=1.

　　(2)证明　设直线AB：y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由题意，知M(0，-1).

　　则x2-kx-1=0，

　　·=(x1，y1+1)·(x2，y2+1)

　　=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1

　　=-(1+k2)+k2+1=0，

　　所以MA⊥MB.

　　(3)解　设直线MA的方程：y=k1x-1，直线MB的方程：y=k2x-1，

　　由(2)知k1k2=-1，M(0，-1)，

　　由解得或

　　所以A(k1，k-1).

　　同理，可得B(k2，k-1).

　　故S1=MA·MB=·|k1||k2|.

　　由解得或

　　所以D(，).

　　同理，可得E(，).

　　故S2=MD·ME

　　=·，

　　=λ==≥，

　　则λ的取值范围是[，+∞).

　　题型二　直线和双曲线的位置关系

　　例2　已知双曲线C：x2-y2=1及直线l：y=kx-1.

　　(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围;

　　(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值.

　　破题切入点　(1)联立方程组，利用Δ>0求出k的取值范围.

　　(2)联立方程用根与系数的关系求解.

　　解　(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，

　　则方程组有两个不同的实数根，

　　整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.

　　∴

　　解得-|x2|时，

　　S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)

　　=|x1-x2|;

　　当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，

　　S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)

　　=|x1-x2|.

　　∴S△OAB=|x1-x2|=，∴(x1-x2)2=(2)2，

　　即()2+=8，解得k=0或k=±.

　　又∵-0，b>0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e=，且S△ABF=1-.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F.

　　(1)求双曲线M和抛物线N的方程;

　　(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点?如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由.

　　破题切入点　(1)根据双曲线的性质，用a，c表示已知条件，建立方程组即可求解双曲线的方程，然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程.

　　(2)设出点P的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，并求出点Q的坐标，然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程，将问题转化为方程恒成立的问题来解决.

　　解　(1)在双曲线中，c=，

　　由e=，得=，

　　解得a=b，故c=2b.

　　所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b

　　=1-，解得b=1.

　　所以a=，c=2，其上焦点为F(0,2).

　　所以双曲线M的方程为-x2=1，

　　抛物线N的方程为x2=8y.

　　(2)由(1)知抛物线N的方程为y=x2，

　　故y′=x，抛物线的准线为y=-2.

　　设P(x0，y0)，则x0≠0，y0=x，

　　且直线l的方程为y-x=x0(x-x0)，

　　即y=x0x-x.

　　由得

　　所以Q(，-2).

　　假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，

　　也就是·=0对于满足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立.

　　由于=(x0，y0-y1)，=(，-2-y1)，

　　由·=0，

　　得x0·+(y0-y1)(-2-y1)=0，

　　整理得-2y0-y0y1+2y1+y=0，

　　即(y+2y1-8)+(2-y1)y0=0，(*)

　　由于(*)式对满足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立，

　　所以解得y1=2.

　　故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点，定点坐标为(0,2).

　　总结提高　直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决.

　　1. 设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M，N两点，已知当直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2(O为坐标原点).

　　(1)求抛物线C的方程;

　　(2)是否存在直线l，使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上，若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由.

　　解　(1)当直线l与x轴垂直时，则|MN|=2p，

　　∴S△OMN=·2p·==2，即p=2.

　　∴抛物线C的方程为y2=4x.

　　(2)∵直线l与x轴垂直时，不满足.设正方形的第三个顶点为P.

　　故可设直线l：y=k(x-1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，

　　联立可化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

　　则代入直线l可得MN的中点为(，)，

　　则线段MN的垂直平分线为y-=-(x-1-)，

　　故P(0，+).

　　又·=0，则x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0.

　　即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0.

　　1-4-y0·+y=0，化解得ky-4y0-3k=0，

　　由y0=+代入上式，化简得(3k4-4)(k2+1)=0.

　　解得k=± .∴存在直线l：y=± (x-1).

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