2016年高考数学备考：专项练习及答案(5)

　　2.(2013·广东)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.

　　(1)求抛物线C的方程;

　　(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;

　　(3)当点P在直线l上移动时，求AF·BF的最小值.

　　解　(1)依题意知=，c>0，解得c=1.

　　所以抛物线C的方程为x2=4y.

　　(2)由y=x2得y′=x，

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，

　　所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，

　　即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.

　　同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0，

　　又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，

　　所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，

　　所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x-2y0-2y=0 的两组解，

　　所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.

　　(3)由抛物线定义知AF=y1+1，BF=y2+1，

　　所以AF·BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1，

　　联立方程

　　消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0，

　　∴y1+y2=x-2y0，y1y2=y，

　　∴AF·BF=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1

　　=y+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5

　　=22+，

　　∴当y0=-时，AF·BF取得最小值，且最小值为.

　　3.(2013·浙江)

　　如图，点P(0，-1)是椭圆C1：+=1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径.l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.

　　(1)求椭圆C1的方程;

　　(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.

　　解　(1)由题意得

　　所以椭圆C1的方程为+y2=1.

　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).

　　由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，

　　则直线l1的方程为y=kx-1.

　　又圆C2：x2+y2=4，

　　故点O到直线l1的距离d=，

　　所以AB=2=2 .

　　又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0.

　　由

　　消去y，整理得(4+k2)x2+8kx=0，

　　故x0=-.所以PD=.

　　设△ABD的面积为S，

　　则S=·AB·PD=，

　　所以S=

　　≤

　　=，

　　当且仅当k=±时取等号.

　　所以所求直线l1的方程为y=±x-1.

　　4.已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+=0相切.

　　(1)求双曲线E的方程;

　　(2)已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使·为定值?若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在，请说明理由.

　　解　(1)由题意知=a，

　　∴a=.

　　又∵2c=4，∴c=2，∴b==1.

　　∴双曲线E的方程为-y2=1.

　　(2)当直线为y=0时，

　　则P(-，0)，Q(，0)，F(-2,0)，

　　∴·=(-+2,0)·(+2,0)=1.

　　当直线不为y=0时，

　　可设l：x=ty+m(t≠±)代入E：-y2=1，

　　整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t≠±).(*)

　　由Δ>0得m2+t2>3.

　　设方程(*)的两个根为y1，y2，

　　满足y1+y2=-，y1y2=，

　　∴·=(ty1+m+2，y1)·(ty2+m+2，y2)

　　=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2

　　=.

　　当且仅当2m2+12m+15=3时，·为定值，

　　解得m1=-3-，m2=-3+(舍去).

　　综上，过定点M(-3-，0)任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点，使·=1为定值.

　　5.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，y0>0)，

　　则切线斜率为-，切线方程为y-y0=-(x-x0)，

　　即x0x+y0y=4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.

　　由x+y=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时，x0y0有最大值，即S有最小值，

　　因此点P的坐标为(，).

　　由题意知解得

　　故C1的方程为x2-=1.

　　(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-，0)，(，0)，

　　由此设C2的方程为+=1，其中b1>0.

　　由P(，)在C2上，得+=1，

　　解得b=3，因此C2的方程为+=1.

　　显然，l不是直线y=0.

　　设l的方程为x=my+，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由得(m2+2)y2+2my-3=0，

　　又设y1，y2是方程的根，因此

　　由x1=my1+，x2=my2+，得

　　因为=(-x1，-y1)，=(-x2，-y2)，

　　由题意知·=0，

　　所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0，⑤

　　将①②③④代入⑤整理得2m2-2m+4-11=0，

　　解得m=-1或m=-+1.

　　因此直线l的方程为x-(-1)y-=0或x+(-1)y-=0.

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