2016年高考数学备考：专项练习及答案(6)

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　　题型一　抛物线的定义及其应用

　　例1　设P是抛物线y2=4x上的一动点，

　　(1)求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;

　　(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求PB+PF的最小值.

　　破题切入点　画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题.

　　解　(1)由于A(-1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则AP+PF≥AF==，从而知点P到A(-1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到A(-1,1)的距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值也为.

　　(2)

　　如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时P1Q=P1F，那么PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=4，即PB+PF的最小值为4.

　　题型二　抛物线的标准方程及性质

　　例2　(1)设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________.

　　(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水位下降1 m后，水面宽________ m.

　　破题切入点　准确求出抛物线方程并结合其简单几何性质作答.

　　答案　(1)(2，+∞)　(2)2

　　解析　(1)∵x2=8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y=-2.由抛物线的定义知FM=y0+2.

　　以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.

　　由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交，

　　又圆心F到准线的距离为4，故42.

　　(2)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，

　　则A(2，-2)，将其坐标代入x2=-2py得p=1.

　　∴x2=-2y.

　　水位下降1 m，得D(x0，-3)(x0>0)，

　　将其坐标代入x2=-2y，得x=6，

　　∴x0=.∴水面宽CD=2 m.

　　题型三　直线和抛物线的位置关系

　　例3　已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，-2).

　　(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程;

　　(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于?若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由.

　　破题切入点　(1)将点代入易求方程.

　　(2)假设存在，根据条件求出，注意验证.

　　解　(1)将(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，

　　所以p=2.

　　故所求的抛物线C的方程为y2=4x，

　　其准线方程为x=-1.

　　(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.

　　由得y2+2y-2t=0.

　　因为直线l与抛物线C有公共点，

　　所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.

　　由直线OA到l的距离d=，

　　可得=，

　　解得t=±1.

　　又因为-1[-，+∞)，1∈[-，+∞)，

　　所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.

　　总结提高　(1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e=1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决.

　　(2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y2=2px关于y轴、直线x+y=0与x-y=0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式;或者将抛物线y2=2px绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系.

　　(3)抛物线的焦点弦：设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

　　①y1y2=-p2，x1x2=;

　　②若直线AB的倾斜角为θ，则AB=;

　　③若F为抛物线焦点，则有+=.

　　1.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，-2)到焦点的距离为4，则m的值为________.

　　答案　4或-4

　　解析　设标准方程为x2=-2py(p>0)，

　　由定义知P到准线的距离为4，故+2=4，所以p=4，

　　则方程为x2=-8y，代入P点坐标得m=±4.

　　2.若抛物线y2=8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有________个.

　　答案　1

　　解析　由题意得F(2,0)，l：x=-2，

　　线段MF的垂直平分线方程为y-=-(x-)，

　　即x+3y-7=0，设圆的圆心坐标为(a，b)，

　　则圆心在x+3y-7=0上，故a+3b-7=0，a=7-3b，

　　由题意得|a-(-2)|=，

　　即b2=8a=8(7-3b)，即b2+24b-56=0.

　　又b>0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个.

　　3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是________.

　　答案　2±

　　解析　依题意得F(，0)，设P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2).由抛物线定义及PF=QF，得+=+，∴y=y，∴y1=-y2.又PQ=2，因此|y1|=|y2|=1，点P(，y1).又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF=+=2，由此解得p=2±.

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