2016年高考数学备考：专项练习及答案(6)

　　4.(2014·课标全国Ⅱ改编)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.

　　答案

　　解析　由已知得焦点坐标为F(，0)，

　　因此直线AB的方程为y=(x-)，

　　即4x-4y-3=0.

　　方法一　联立抛物线方程化简得4y2-12y-9=0，

　　故|yA-yB|==6.

　　因此S△OAB=OF·|yA-yB|=××6=.

　　方法二　联立方程得x2-x+=0，

　　故xA+xB=.

　　根据抛物线的定义有AB=xA+xB+p=+

　　=12，

　　同时原点到直线AB的距离为h==，

　　因此S△OAB=AB·h=.

　　5.已知抛物线y2=8x的准线为l，点Q在圆C：x2+y2+2x-8y+13=0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d+PQ的最小值为________.

　　答案　3

　　6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若AF=3，则△AOB的面积为______.

　　答案

　　解析　如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，

　　又AF=3，

　　由抛物线定义知：点A到准线x=-1的距离为3，

　　∴点A的横坐标为2.

　　将x=2代入y2=4x得y2=8，

　　由图知点A的纵坐标y=2，

　　∴A(2,2)，

　　∴直线AF的方程为y=2(x-1).

　　联立直线与抛物线的方程

　　解之得或由图知B，

　　∴S△AOB=OF·|yA-yB|=×1×|2+|

　　=.

　　7.过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB=，AF0)的焦点为F，其准线与双曲线-=1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p=________.

　　答案　6

　　解析　因为△ABF为等边三角形，

　　所以由题意知B，

　　代入方程-=1得p=6.

　　11.(2014·大纲全国)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QF=PQ.

　　(1)求C的方程;

　　(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.

　　解　(1)设Q(x0,4)，代入y2=2px得x0=.

　　所以PQ=，QF=+x0=+.

　　由题设得+=×，

　　解得p=-2(舍去)或p=2.

　　所以C的方程为y2=4x.

　　(2)依题意知l与坐标轴不垂直，

　　故可设l的方程为x=my+1(m≠0).

　　代入y2=4x，得y2-4my-4=0.

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=4m，y1y2=-4.

　　故设AB的中点为D(2m2+1,2m)，

　　AB=|y1-y2|=4(m2+1).

　　又l′的斜率为-m，

　　所以l′的方程为x=-y+2m2+3.

　　将上式代入y2=4x，

　　并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.

　　设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

　　则y3+y4=-，y3y4=-4(2m2+3).

　　故设MN的中点为E(+2m2+3，-)，

　　MN= |y3-y4|=，

　　由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于AE=BE=MN，

　　从而AB2+DE2=MN2，

　　即4(m2+1)2+(+2)2+(2m+)2=，

　　化简得m2-1=0，解得m=1或m=-1.

　　所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

　　12.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

　　(1)求曲线C的方程;

　　(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由.

　　解　(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：-x=1(x>0).

　　化简得y2=4x(x>0).

　　(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).

　　设l的方程为x=ty+m，

　　由得y2-4ty-4m=0，

　　Δ=16(t2+m)>0，于是①

　　又=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)，·<0

　　(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②

　　又x=，于是不等式②等价于·+y1y2-+1<0+y1y2-

　　+1<0.③

　　由①式，不等式③等价于m2-6m+1<4t2.④

　　对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0，即3-2

　　由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3-2，3+2).

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