2016年高考数学备考：专项练习及答案(13)

　　参考答案

　　1.A　解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则在双曲线中a=1.又2c=4,c=2,e==2.

　　2.C　解析:设F1,F2为焦点,由题意知,点M的轨迹是以F1F2为直径的圆,

　　则c1或k<-1.

　　9.解:设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),

　　则a2+b2=()2=7.

　　由

　　消去y,得=1.

　　整理,得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.(*)

　　由直线y=x-1与双曲线有两个交点知a≠b,

　　设M(x1,y1),N(x2,y2),

　　则x1和x2为方程(*)的根,

　　于是x1+x2=.

　　由已知得=-,

　　则=-,即5a2=2b2.

　　由得

　　故所求双曲线方程为=1.

　　10.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,

　　得|AF1|=3,|F1B|=1.

　　因为ABF2的周长为16,

　　所以由椭圆定义可得4a=16,

　　|AF1|+|AF2|=2a=8.

　　故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.

　　(2)设|F1B|=k,则k>0,

　　且|AF1|=3k,|AB|=4k.

　　由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.

　　在ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cosAF2B,

　　即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k),

　　化简可得(a+k)(a-3k)=0,

　　而a+k>0,故a=3k.

　　于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.

　　因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1AF2A,

　　故AF1F2为等腰直角三角形.

　　从而c=a,所以椭圆E的离心率e=.

　　11.B　解析:将x=-c代入双曲线方程得A.

　　由ABE是直角三角形,得=a+c,

　　即a2+ac=b2=c2-a2,

　　整理得c2-ac-2a2=0.

　　∴e2-e-2=0,

　　解得e=2(e=-1舍去).

　　12.A　解析:可解方程t2cosθ+tsinθ=0,

　　得两根0,-.

　　不妨设a=0,b=-,

　　则A(0,0),B,

　　可求得直线方程y=-x,

　　因为双曲线渐近线方程为y=±x,

　　故过A,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A.

　　13.D　解析:因为椭圆的离心率为,

　　所以e=,c2=a2,a2=a2-b2.

　　所以b2=a2,即a2=4b2.

　　因为双曲线的渐近线为y=±x,代入椭圆得=1

　　即=1,

　　所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=±b.

　　则在第一象限的交点坐标为.

　　所以四边形的面积为4×b×b=b2=16.解得b2=5,

　　故椭圆方程为=1.

　　14.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.

　　设A(x1,y1),B(x2,y2),

　　则有x1x2=-8,

　　直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.

　　解得交点D的坐标为

　　注意到x1x2=-8及=4y1,

　　则有y==-2.

　　因此D点在定直线y=-2上(x≠0).

　　(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),

　　代入x2=4y得x2=4(ax+b),

　　即x2-4ax-4b=0,

　　由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.

　　故切线l的方程可写为y=ax-a2.

　　分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1,N2.

　　则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,

　　即|MN2|2-|MN1|2为定值8.

　　15.解:(1)设F(c,0),由条件知,,得c=.

　　又,所以a=2,b2=a2-c2=1.

　　故E的方程为+y2=1

　　(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).

　　将y=kx-2代入+y2=1,

　　得(1+4k2)x2-16kx+12=0.

　　当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.

　　从而|PQ|=|x1-x2|

　　=.

　　又点O到直线PQ的距离d=,

　　所以OPQ的面积SOPQ=d·|PQ|=.

　　设=t,则t>0,

　　SOPQ=.

　　因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.

　　所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.

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