2016年高考数学备考：专项练习及答案(15)

　　参考答案：

　　1.C　解析:|PM|-|PN|=3<4,

　　∴由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.

　　又|PM|>|PN|,∴点P的轨迹为双曲线的右支.

　　2.C　解析:双曲线的标准方程为x2-=1,a2=1,b2=.

　　∴c2=a2+b2=.

　　∴c=,故右焦点坐标为.

　　3.C　解析:e=2,∴=2.

　　设焦点F2(c,0)到渐近线y=x的距离为,

　　渐近线方程为bx-ay=0,

　　.

　　∵c2=a2+b2,∴b=.

　　由=2,得=2,

　　=4,

　　解得c=2.焦距2c=4,故选C.

　　4.A　解析:如图所示,在RtOPF中,OMPF,且M为PF的中点,

　　则POF为等腰直角三角形.

　　所以OMF也是等腰直角三角形.

　　所以有|OF|=|OM|,即c=a.

　　故e=.

　　5.A　解析:由=0,可知.

　　可设||=t1,||=t2,

　　则t1t2=2.

　　在MF1F2中,=40,

　　则|t1-t2|=

　　==6=2a.

　　解得a=3.故所求双曲线方程为-y2=1.

　　6.A　解析:双曲线的离心率为2,=2,

　　∴a∶b∶c=1∶∶2.

　　又

　　∴|AF1|=4a,|AF2|=2a,

　　∴|F1F2|=2c=4a,

　　∴cos∠AF2F1

　　=

　　=,

　　选A.

　　7.4　解析:由题意点M的坐标可求得为M(3,±),双曲线的右焦点的坐标为F2(4,0).

　　由两点间的距离公式得|F2M|==4.

　　8.　解析:如图所示,设双曲线方程为=1,取其上一点P(m,n),

　　则Q(m,-n),由=0可得(a-m,-n)·(m+a,-n)=0,

　　化简得a2-m2+n2=0.

　　又=1可得b=a,

　　故双曲线的离心率为e=.

　　9.(1)解:因为e=,

　　所以可设双曲线方程为x2-y2=λ.

　　因为双曲线过点(4,-),

　　所以16-10=λ,即λ=6.

　　所以双曲线方程为=1.

　　(2)证明:由(1)可知,在双曲线中a=b=,所以c=2.

　　所以F1(-2,0),F2(2,0).

　　所以=(-2-3,-m),

　　=(2-3,-m),

　　则=9-12+m2=m2-3.

　　因为点(3,m)在双曲线上,

　　所以9-m2=6,即m2=3.

　　所以=m2-3=0.

　　(3)解:由 (2)知F1MF2的高h=|m|=,由F1MF2的底边|F1F2|=4,

　　则=6.

　　10.解:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.

　　又焦距2c=4,所以虚半轴长b=.

　　所以W的方程为=1(x≥). (2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

　　当ABx轴时,x1=x2,y1=-y2,

　　从而=x1x2+y1y2==2.

　　当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,

　　则x1+x2=,x1x2=,

　　所以=x1x2+y1y2

　　=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

　　=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

　　=+m2

　　==2+.

　　又因为x1x2>0,所以k2-1>0.

　　所以>2.

　　综上所述,当ABx轴时,取得最小值2.

　　11.C　解析:设等轴双曲线方程为x2-y2=m(m>0),

　　因为抛物线的准线为x=-4,

　　且|AB|=4,所以|yA|=2.

　　把坐标(-4,2)代入双曲线方程得m=x2-y2=16-12=4,

　　所以双曲线方程为x2-y2=4,

　　即=1.

　　所以a2=4,所以实轴长2a=4.

　　12.B　解析:设PF1F2内切圆半径为r,根据已知可得×|PF1|×r=×|PF2|×r+×2c×r,

　　整理可得|PF1|=|PF2|+2λc.

　　由双曲线的定义可得

　　|PF1|-|PF2|=2a,

　　则2λc=2a,故λ=.

　　13.B　解析:由a2+1=4,得a=,

　　则双曲线方程为-y2=1.

　　设点P(x0,y0),则=1,

　　即-1.

　　=x0(x0+2)+

　　=+2x0+-1

　　=,

　　x0≥,∴当x0=时,取最小值3+2.故的取值范围是[3+2,+∞).

　　14.　解析:双曲线=1的两条渐近线方程分别是y=x和y=-x.

　　由

　　解得A,

　　由

　　解得B.

　　设AB中点为E,

　　则E.

　　由于|PA|=|PB|,所以PE与直线x-3y+m=0垂直,

　　而kPE=,

　　于是=-1.

　　所以a2=4b2=4(c2-a2).

　　所以4c2=5a2,解得e=.

　　15.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.

　　因为点P在双曲线x2-=1上,所以=1.故=3.

　　由椭圆的定义知2a2

　　==2.

　　于是a2==2.

　　故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.

　　(2)不存在符合题设条件的直线.

　　若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.

　　当x=时,易知A(),B(,-),

　　所以||=2,||=2.

　　此时,||≠||.

　　当x=-时,

　　同理可知,||≠||.

　　若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.

　　由

　　得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.

　　当l与C1相交于A,B两点时,

　　设A(x1,y1),B(x2,y2),

　　则x1,x2是上述方程的两个实根,

　　从而x1+x2=,x1x2=.

　　于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.

　　由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.

　　因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.

　　化简,得2k2=m2-3,

　　因此=x1x2+y1y2=≠0,

　　于是+2-2,

　　即||≠||,

　　故||≠||.

　　综合,②可知,不存在符合题设条件的直线.

　　16.解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,

　　所以=2,所以=2,

　　故c=a,

　　从而双曲线E的离心率e=.

　　(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.

　　设直线l与x轴相交于点C.

　　当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,

　　则|OC|=a,|AB|=4a,

　　又因为OAB的面积为8,

　　所以|OC|·|AB|=8,

　　因此a·4a=8,解得a=2,

　　此时双曲线E的方程为=1.

　　若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为=1.

　　以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:=1也满足条件.

　　设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.

　　记A(x1,y1),B(x2,y2).

　　由得y1=,

　　同理得y2=,

　　由SOAB=|OC|·|y1-y2|得,

　　=8,

　　即m2=4|4-k2|=4(k2-4).

　　由得,

　　(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.

　　因为4-k2<0,

　　Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又m2=4(k2-4),

　　所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.

　　因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.

　　解法二:(1)同解法一.

　　(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.

　　设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).

　　依题意得-2或k<-2.

　　由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,

　　因为4-k2<0,Δ>0,

　　所以x1x2=,

　　又因为OAB的面积为8,

　　所以|OA|·|OB|·sinAOB=8,

　　由已知sinAOB=,

　　所以=8,化简得x1x2=4.

　　所以=4,即m2=4(k2-4).

　　由(1)得双曲线E的方程为=1,由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,

　　因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,

　　即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,

　　所以双曲线E的方程为=1.

　　当lx轴时,由OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:=1有且只有一个公共点.

　　综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.

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