2017考数学提分专练及答案:直线与圆的概念

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　　一、选择题

　　1.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，-1)，C(2，-3)两点，点D在直线3x-y+1=0上移动，则点B的轨迹方程为(　　)

　　A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0

　　C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0

　　答案：A　解题思路：设AC的中点为O，即.设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，即D(x0，y0)，则由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.

　　2.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为(　　)

　　A.1 B.2

　　C. -2D.3

　　答案：C　解题思路：当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时，切线长最小.因圆心(3,0)到直线的距离为d==2，所以切线长的最小值是l==.

　　3.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点，则b的取值范围是(　　)

　　A.{b||b|=}

　　B.{b|-1

　　C.{b|-1≤b<1}

　　D.非以上答案

　　答案：

　　B　解题思路：在同一坐标系中，画出y=x+b与曲线x=(就是x2+y2=1，x≥0)的图象，如图所示，相切时b=-，其他位置符合条件时需-1

　　4.若圆C：x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)

　　A.2 B.3

　　C.4 D.6

　　答案：C　解题思路：圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2，所以圆心为(-1,2)，半径为.因为圆关于直线2ax+by+6=0对称，所以圆心在直线2ax+by+6=0上，所以-2a+2b+6=0，即b=a-3，点(a，b)到圆心的距离为

　　d==

　　==.

　　所以当a=2时，d有最小值=3，此时切线长最小，为==4，故选C.

　　5.已知动点P到两定点A，B的距离和为8，且|AB|=4，线段AB的中点为O，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有(　　)

　　A.5条 B.6条

　　C.7条 D.8条

　　答案：D　命题立意：本题考查椭圆的定义与性质，难度中等.

　　解题思路：依题意，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长是8，短轴长是2=4的椭圆.注意到经过该椭圆的中心O的最短弦长等于4，最长弦长是8，因此过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度可以为整数4,5,6,7,8，其中长度为4,8的各一条，长度为5,6,7的各有两条，因此满足题意的弦共有8条，故选D.

　　6.设m，nR，若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，则m+n的取值范围是(　　)

　　A.[1-，1+]

　　B.(-∞，1-][1+，+∞)

　　C.[2-2，2+2]

　　D.(-∞，2-2][2+2，+∞)

　　答案：D　解题思路： 直线与圆相切，

　　=1，

　　|m+n|=，

　　即mn=m+n+1，

　　设m+n=t，则mn≤2=，

　　t+1≤， t2-4t-4≥0，

　　解得：t≤2-2或t≥2+2.

　　7.在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得=λ+μ，则λ2+(μ-3)2的取值范围是(　　)

　　A.[0，+∞) B.(2，+∞)

　　C.(2,8) D.(8，+∞)

　　答案：B　解题思路：依题意B，O，C三点不可能在同一直线上， ·=||||cos BOC=cos BOC∈(-1,1)，又由=λ+μ，得λ=-μ，于是λ2=1+μ2-2μ·，记f(μ)=λ2+(μ-3)2.则f(μ)=1+μ2-2μ·+(μ-3)2=2μ2-6μ-2μ·+10，可知f(μ)>2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)<2μ2-4μ+10=2(μ-1)2+8无最大值，故λ2+(μ-3)2的取值范围为(2，+∞).

　　8.已知圆C：x2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x-y-2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使得OPQ=30°，则x0的取值范围是(　　)

　　A.[-1,1] B.[0,1]

　　C.[-2,2] D.[0,2]

　　答案：D　解析：由题知，在OPQ中，=，即=， |OP|≤2，又P(x0，x0-2)，则x+(x0-2)2≤4，解得x0[0,2]，故选D.

　　9.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2+y2≤4}分成两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(　　)

　　A.x+y-2=0 B.y-1=0

　　C.x-y=0 D.x+3y-4=0

　　答案：A　命题立意：本题考查直线、线性规划与圆的综合运用及数形结合思想，难度中等.

　　解题思路：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直.又已知点P(1,1)，则kOP=1，故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点P(1,1)，故由点斜式得，所求直线的方程为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0.

　　10.直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)

　　A. B.

　　C.[-， ] D.

　　答案：B　命题立意：本题考查直线与圆的位置关系，难度中等.

　　解题思路：在由弦心距d、半径r和半弦长|MN|构成的直角三角形中，由勾股定理，得|MN|=≥，得4-d2≥3，解得d2≤1，又d==，解得k2≤，所以-≤k≤.

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