2017考数学提分专练及答案:直线与圆的概念

　　B组

　　一、选择题

　　1.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点，则cos AFB=(　　)

　　A. B.

　　C.- D.-

　　答案：D　解题思路：联立消去y得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4.

　　不妨设点A在x轴下方，所以A(1，-2)，B(4,4).

　　因为F(1,0)，所以=(0，-2)，=(3,4).

　　因此cos AFB=

　　==-.故选D.

　　2.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)

　　A. B.

　　C.1 D.2

　　答案：D　解题思路：由题意知，抛物线的准线l为y=-1，过A作AA1l于A1，过B作BB1l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1l于M1，则|MM1|=，|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|+|BF|≥6，即|AA1|+|BB1|≥6，即2|MM1|≥6， |MM1|≥3，即M到x轴的距离d≥2，故选D.

　　3.设双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，则渐近线的斜率为(　　)

　　A.或- B.或-

　　C.1或-1 D.或-

　　答案：D　命题立意：本题考查了双曲线的几何性质的探究，体现了解析几何的数学思想方法的巧妙应用，难度中等.

　　解题思路：如图如示，不妨设点A是第一象限内双曲线渐近线y=x上的一点，由AF2F1F2，可得点A的坐标为，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，则tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得该双曲线渐近线的斜率为或-，故应选D.

　　4.设F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y=b相切的F2交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　答案：C　解题思路：由题意可得，EF1F2为直角三角形，且F1EF2=90°，

　　|F1F2|=2c，|EF2|=b，

　　由椭圆的定义知|EF1|=2a-b，

　　又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，

　　即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，

　　所以e2===，故e=，故选C.

　　5.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为(　　)

　　A. B.2 C.4 D.8

　　答案：C　解题思路：由题意得，设等轴双曲线的方程为-=1，又抛物线y2=16x的准线方程为x=-4，代入双曲线的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以双曲线的实轴长为2a=4，故选C.

　　6.抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线围成的三角形的面积等于(　　)

　　A. B.3 C. D.3

　　答案：B　命题立意：本题主要考查抛物线与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的运算能力.

　　解题思路：依题意得，抛物线y2=-12x的准线方程是x=3，双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，直线x=3与直线y=±x的交点坐标是(3，±)，因此所求的三角形的面积等于×2×3=3，故选B.

　　7.若双曲线-=1与椭圆+=1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是(　　)

　　A.等腰三角形 B.直角三角形

　　C.锐角三角形 D.钝角三角形

　　答案：D　解题思路：双曲线的离心率为e1=，椭圆的离心率e2=，由题意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，故选D.

　　8. F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点.若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为(　　)

　　A.2 B. C. D.

　　答案：B　命题立意：本题主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何性质以及基本量的计算等基础知识，考查了考生的推理论证能力以及运算求解能力.

　　解题思路：如图，由双曲线定义得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因为ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故选B.

　　9.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)

　　A.2 B.3

　　C. D.

　　答案：A　解题思路：设抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义可知直线l2：x=-1恰为抛物线的准线，抛物线的焦点为F(1,0)，则d2=|PF|，由数形结合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值时，即为点F到l1的距离，利用点到直线的距离公式得最小值为=2，故选A.

　　10.已知双曲线-=1(a>0，b>0)，A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于y轴的对称点是Q.若直线AP，BQ的斜率分别是k1，k2，且k1·k2=-，则双曲线的离心率是(　　)

　　A. B. C. D.

　　答案：C　命题立意：本题考查双曲线方程及其离心率的求解，考查化简及变形能力，难度中等.

　　解题思路：设A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于点P在双曲线上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故选C.

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