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2020年高考:高中数学诱导公式全集

来源:考试吧 2019-09-12 15:38:37 要考试,上考试吧! 模拟考场
2020年高考:高中数学诱导公式全集,更多2020高考备考经验、高考复习指导等信息,请及时关注考试吧高考网或微信搜索“566高考”获取相关信息。

  两角和差公式

  两角和与差的三角函数公式

  sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

  sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

  cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

  cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

  tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

  tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

  二倍角公式

  二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

  sin2α=2sinαcosα

  cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

  tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

  半角公式

  半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

  sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

  cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

  tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

  另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

  万能公式

  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

  cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

  万能公式推导

  附推导:

  sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,

  (因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)

  再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

  然后用α/2代替α即可。

  同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

  三倍角公式

  三倍角的正弦、余弦和正切公式

  sin3α=3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=4cos^3(α)-3cosα

  tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

  三倍角公式推导

  附推导:

  tan3α=sin3α/cos3α

  =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

  =(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

  上下同除以cos^3(α),得:

  tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

  sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

  =2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

  =2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

  =3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

  =(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

  =2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

  =4cos^3(α)-3cosα

  即

  sin3α=3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=4cos^3(α)-3cosα

  三倍角公式联想记忆

  ★记忆方法:谐音、联想

  正弦三倍角:3元 减 4元3角(欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”))

  余弦三倍角:4元3角 减 3元(减完之后还有“余”)

  ☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。

  ★另外的记忆方法:

  正弦三倍角: 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是"3倍"sinα, 无指的是减号, 四指的是"4倍", 立指的是sinα立方

  余弦三倍角: 司令无山 与上同理

  和差化积公式

  三角函数的和差化积公式

  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

  积化和差公式

  三角函数的积化和差公式

  sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

  cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

  cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

  sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

  和差化积公式推导

  附推导:

  首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

  我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

  所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

  同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

  同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

  所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

  所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

  同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

  这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

  sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

  cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

  cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

  sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

  有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式。

  我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

  把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

  sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

  sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

  cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

  cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

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