2016高考数学提分专练及答案:等差与等比数列

　　三、解答题

　　11.已知Sn是正数数列{an}的前n项和，S，S，…，S，…是以3为首项，以1为公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90.

　　(1)求an，bn;

　　(2)从数列中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于?若能的话，请写出这个数列的第一项和公比;若不能的话，请说明理由.

　　解析：(1){S}是以3为首项，以1为公差的等差数列，

　　所以S=3+(n-1)=n+2.

　　因为an>0，所以Sn=(nN*).

　　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-，

　　又a1=S1=，

　　所以an=(nN*).

　　设{bn}的首项为b1，公比为q，则有

　　所以即bn=3n(nN*).

　　(2)=n，设可以挑出一个无穷等比数列{cn}，

　　首项为c1=p，公比为k(p，kN*)，它的各项和等于=，则有=，

　　所以p=.

　　当p≥k时，3p-3p-k=8，即3p-k(3k-1)=8，

　　因为p，kN*，所以只有当p-k=0，k=2，即p=k=2时，数列{cn}的各项和为.

　　当pp，右边含有3的因数，而左边非3的倍数，故不存在p，kN*，所以存在唯一的等比数列{cn}，首项为，公比为，使它的各项和等于.

　　12.已知数列{an}是公比大于1的等比数列，对任意的nN*，有an+1=a1+a2+…+an-1+an+.

　　(1)求数列{an}的通项公式;

　　(2)设数列{bn}满足：bn=(log3 a1+log3 a2+…+log3 an+log3 t)(nN*)，若{bn}为等差数列，求实数t的值及数列{bn}的通项公式.

　　解析：(1)解法一：设{an}的公比为q，

　　则由题设，得

　　即

　　由-，得a1q2-a1q=-a1+a1q，

　　即2a1q2-7a1q+3a1=0.

　　a1≠0， 2q2-7q+3=0，

　　解得q=(舍去)或q=3.

　　将q=3代入，得a1=1，

　　an=3n-1.

　　解法二：设{an}的公比为q，则由已知，得

　　a1qn=+a1qn-1+，

　　即a1qn=qn-+，

　　比较系数得

　　解得(舍去)或 an=3n-1.

　　(2)由(1)，得

　　bn=(log3 30+log3 31+…+log3 3n-1+log3 t)

　　=[1+2+…+(n-1)+log3 t]

　　=

　　=+log3 t.

　　{bn}为等差数列，

　　bn+1-bn等于一个与n无关的常数，

　　而bn+1-bn=-+log3 t

　　=-log3 t，

　　log3 t=0， t=1，此时bn=.

　　13.已知数列{an}的前n项和Sn=-an-n-1+2(nN*)，数列{bn}满足bn=2n·an.

　　(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式;

　　(2)设cn=log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn<(nN*)的n的最大值.

　　解析：(1)证明：在Sn=-an-n-1+2中，

　　令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，得a1=.

　　当n≥2时，Sn-1=-an-1-n-2+2，

　　an=Sn-Sn-1=-an+an-1+n-1，

　　即2an=an-1+n-1.

　　2n·an=2n-1·an-1+1.

　　bn=2n·an， bn=bn-1+1.

　　又b1=2a1=1， {bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.

　　于是bn=1+(n-1)·1=n， an=.

　　(2) cn=log2=log22n=n，

　　==-.

　　Tn=++…+=1+--.

　　由Tn<，得1+--<，即+>，f(n)=+单调递减，

　　f(3)=，f(4)=，f(5)=，

　　n的最大值为4.

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