北京数学特级教师：2011高考数学试题面貌新

　　主持人翟东海：深入考察的还有没有其他的题型或者说我们除了这两个特点之外，今年的命题还有什么其他的特点?

　　李锦旭：深度考察的第16小题也是一个灵活考察题。

　　主持人翟东海：我没有记错第12小题是选择题的最后一题，16小题是填空题的最后一题，看来最后一个题是比较难的。

　　李锦旭：不过第16题也有一个比较快的做法。画出这个图来看一看它的背景是一个正方体，那个截面，一个点是侧棱的2/3、一个是1/3，平时我们也经常训练这种题。如果按一般的思路求解，要通过新一点的背景找出二面角的平面角，然后再解三角形求解。如果我们利用课本上介绍过的一个结论，就是这两个半平面所成的二面角上的余旋值应该等于底面的三角形的面积，直接用结论来做就快得多。如果平时做有心人这么积累了，做得就要快一些。

　　主持人翟东海：这个是我刚才强调过的，如果我们平常有足够的积累，我们对这个知识理解得很深入、很灵活，那么可能有些题，像我这样数学不是很好的就得做好一会，可能还做不对，程度好灵活掌握的就可以花很少的时间把分数拿到了。

　　李锦旭：从这方面也体现了对数学理解。如果说平时用心做积累，或者说你有意地进行一些方面的训练，可能拿过来同样的一个题目，平时想的多上手就快得多，上来就能寻求比较简洁、有效的解题思路和方法，这正好也体现了高考的选拔功能，区分度在这上面也有所体现了。这算是第二个小特点。

　　主持人翟东海：深入地考察主干知识。

　　李锦旭：对。第三个特点我感觉是突出了学科的特点，深入考察对于数学本质的认识。

　　主持人翟东海：对数学本质的认识?

　　李锦旭：对。比如说有些题目在知识的交汇处设计试题，灵活深入地考察数学的本质。

　　主持人翟东海：那么有没有一些很好的例子?

　　李锦旭：刚才我举的那个第12题，就很好地体现了这个问题。它是以项量为载体，通过运动变化的观点从某种程度上说是寻求项量问题动态的变化过程，这个过程这里面就有机地体现出你的数学能力、数学的本质上的一些差异。需要对数学的本质进行一些很好的理解。

　　其实这样的观念也体现在比较基本的题目里面，比如说这里面选择题的第6题。是在一个直二面角的背景里，求地点到平面ABC的距离，如果说直接找不是不能找，能找，相对来说要麻烦。而且那个垂足落在什么地方还要好好地考虑考虑。如果能够从数学的特点和本质上看问题，那这个题目我们可以考虑等体积转化，直接过地点向平面ABC做垂线，第一感觉不好做，我就可以考虑用三棱锥等体积转化，我就设距离为D一个变量，然后我交换一下顶点，同样这个三棱锥，我把B点看成顶点，底面是ACD，在平面角里高就非常地明确，之后用1/3底乘高很快就得到来解。还有第七小题是排列组合的问题，某同学有同样的画册，两本，同样的集邮册三本，要抽出不同的四本，送给四位朋友，有什么样的方式。你出这四本应该是什么样的，这就体现了数学里分类的思想，应该是两类，一类是两本画册，两本集邮册。第二是一本画册三本集邮册。同一类当中这几本是相同的，所以说你要解决这个问题怎么赠送给人啊?比如说，我拿的是两本画册、两本集邮册那我就可以从四个人当中选两个人给画册，因为给的两本是一样的，只要选对人对应的方法就唯一了。同样的，剩下的那两本，自然送给另外两个人，方法就唯一了。同样的方式一本画册和三本集邮册，我只考虑从四个人当中选出一个人，赠送那本画册剩下的那三个人自然拿集邮册就不用问了所以说总的方式是C42+C21就是两类。在所取得的元素有相同有不相同的情况下，怎么样把组合的模型建立起来。这里面还体现了分类的思想，非常典型。

　　另外第9小题，这里面牵扯到函数的周期性、奇偶性，在一个小区间上的解析表达式，从具体的函数值。这里面有机地体现了函数知识的综合运用，最终我们通过周期性和奇偶性，把要求的F那个-2/5转化到已给的小区间0-1上，我们可以套相应的值计算了。这就体现了转化。转化本身就是数学上面非常重要的一种思维方式，不仅仅是一种思维方式，它还是一种非常非常重要的数学思想。可以说，高考常考的几种数学思想，比如说第一函数与方程的。第二，数形结合的思想。第三，分类讨论思想。第四是等价转化与划归思想。基本上都是用转化去概括与归纳的。你像函数与方程的思想，往往需要用函数和方程转化的思想去解决问题，一些比较综合性和复杂性的问题可以这么考虑。这就体现了函数与方程的转化。本身就是把实际问题，通过概括、抽象转化为数学的问题，本身也就体现了转化。

　　主持人翟东海：包括您刚才所说的等体积转化。

　　李锦旭：对，那也是一种转化，非常灵活的其实也是很基本的一种转化。

　　分类讨论，当面对的数学问题比较复杂的时候，难以用统一的方式去向下处理或者是变形，那我们就可以根据实际情况分类去处理它。分类处理的策略本身也就体现了一种转化。另外等价转化与划归本身也是转化。还有数形结合，数和形之间的相互转化。恩格斯先生就对数学有一个概括，说转化是数学的杠杆。

　　主持人翟东海：有杠杆就可以撬动数学的难题。

　　李锦旭：对，可以调动很多的思维。

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