2017年高考数学提分专项练习及答案(8)

　　一、非标准

　　1.A　解析:an=an-1+2(n≥2),

　　∴an-an-1=2.

　　又a1=1,∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,

　　故a7=1+2×(7-1)=13.

　　2.B　解析:S9==27.

　　3.A　解析:设等差数列{an}的公差为d,

　　则依题意得由此解得

　　所以a6=a1+5d=7,a1a6=14.

　　4.C　解析:由题意得3a6=15,a6=5.

　　所以a3+a4+…+a9=7a6=7×5=35.

　　5.C　解析:设等差数列{an}的公差为d,

　　a11-a8=3d=3,∴d=1.

　　∵S11-S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3,

　　∴a1=-8,∴令an=-8+(n-1)>0,解得n>9.

　　因此使an>0的最小正整数n的值是10.

　　6.C　解析:由已知Sn-Sn-1=2,可得=2,

　　{}是以1为首项,2为公差的等差数列,

　　故=2n-1,Sn=(2n-1)2,

　　a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.

　　7.8　解析:由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0;而a7+a10=a8+a9<0,故a9<0.所以数列{an}的前8项和最大.

　　8.10　解析:设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S9-S4=0,

　　即a5+a6+a7+a8+a9=0,5a7=0,故a7=0.

　　而ak+a4=0=2a7,故k=10.

　　9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0,

　　由等差数列的性质,得a2+a5=a3+a4=22,

　　所以a3,a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解,

　　所以a3=9,a4=13.

　　易知a1=1,d=4,故所求通项为an=1+(n-1)×4=4n-3.

　　(2)由(1)知Sn==2n2-n,

　　所以bn=.

　　(方法一)所以b1=,b2=,b3=(c≠0).

　　令2b2=b1+b3,解得c=-.

　　当c=-时,bn==2n,

　　当n≥2时,bn-bn-1=2.

　　故当c=-时,数列{bn}为等差数列.

　　(方法二)bn=.

　　c≠0,∴可令c=-,得到bn=2n.

　　bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N+),

　　∴数列{bn}是公差为2的等差数列.

　　故存在一个非零常数c=-,使数列{bn}也为等差数列.

　　10.解:(1)由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,

　　两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1.

　　由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.

　　(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.

　　由(1)知,a3=λ+1.

　　令2a2=a1+a3,解得λ=4.

　　故an+2-an=4.

　　由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.

　　所以an=2n-1,an+1-an=2.

　　因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.

　　11.D　解析:{}为递减数列,

　　=<1.

　　∴a1d<0.故选D.

　　12.B　解析:易得Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80.

　　又S4=a1+a2+a3+a4=40,

　　所以4(a1+an)=120,a1+an=30.

　　由Sn==210,得n=14.

　　13.B　解析:a1=19,an+1-an=-3,

　　∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列.

　　an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.

　　设{an}的前k项和数值最大,

　　则有kN+.

　　∴

　　∴≤k≤.

　　∵k∈N+,∴k=7.

　　∴满足条件的n的值为7.

　　14.　解析:因为2(nN+,n≥2),

　　所以数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列.

　　所以=1+3(n-1)=3n-2.

　　所以an=,n≥1.

　　所以a7=.

　　15.(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,

　　解得a1=3(a1=-1舍去).

　　当n≥2时,有2Sn-1=+n-5.

　　又2Sn=+n-4,

　　两式相减得2an=+1,

　　即-2an+1=,

　　也即(an-1)2=,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.

　　若an-1=-an-1,则an+an-1=1.

　　而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,

　　所以an-1=an-1,即an-an-1=1.

　　因此,数列{an}为首项为3,公差为1的等差数列.

　　(2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)×1=n+2,即an=n+2.

　　16.(1)证明:由an=+2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(nN+).

　　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),

　　即an-an-1=4,

　　故数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列.

　　于是,an=4n-3,Sn==2n2-n(nN+).

　　(2)解:由(1),得=2n-1(nN+).

　　又S1++…+-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.

　　令2n-1=2015,得n=1008,

　　即存在满足条件的自然数n=1008.

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