2016高考数学提分专练及答案:数列交汇的综合问题

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　　一、选择题

　　1.已知等比数列{an}，且a4+a8=

　　dx，则a6(a2+2a6+a10)的值为(　　)

　　A.π2 B.4

　　C.π D.-9π

　　答案：A　命题立意：本题考查等比数列的性质及定积分的运算，正确地利用定积分的几何意义求解积分值是解答本题的关键，难度中等.

　　解题思路：由于dx表示圆x2+y2=4在第一象限内部分的面积，故dx=×π×22=π，即a4+a8=π，又由等比数列的性质，得a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2=π2，故选A.

　　2.(东北三校二次联考)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21=S4 000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2 011，a2 011)，则·=(　　)

　　A.2 011 B.-2 011

　　C.0 D.1

　　答案：A　命题立意：本题考查等差数列前n项和公式与性质及平面向量的坐标运算，难度中等.

　　解题思路：由已知S21=S4 000a22+a23+…+a4 000==3 979a2 011=0，故有a2 011=0，

　　因此·=2 011+ana2 011=2 011，故选A.

　　3.以双曲线-=1的离心率为首项，以函数f(x)=4x-2的零点为公比的等比数列的前n项的和Sn=(　　)

　　A.3×(2n-1) B.3-(2n-1)

　　C.- 3×(2n-1) D.-3+(2n-1)

　　答案：B　命题立意：本题考查双曲线的离心率及函数的零点与等比数列前n项和公式的应用，难度较小.

　　解题思路：由双曲线方程易得e==，函数零点为，故由公式可得Sn==3=3-，故选B.

　　4.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=15，S5=55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为(　　)

　　A.4 B.1

　　C.-4 D.-14

　　答案：A　命题立意：本题考查等差数列的性质、前n项和及直线斜率的坐标计算形式，难度较小.

　　解题思路：由题S5==55，故a1+a5=22，根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3=22，故a3=11，因为a4=15，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为kPQ===4，故选A.

　　5.在等比数列{an}中，对于n∈N*都有an+1·a2n=3n，则a1·a2·…·a6=(　　)

　　A.±()11 B.()13

　　C.±35 D.36

　　答案：D　命题立意：本题考查数列的递推公式、等比数列的性质及整体代换思想，考查考生的运算能力，难度中等.

　　解题思路：由等比数列的性质可知，a1·a2·a3·a4·a5·a6=(a2·a6)·a4·(a1·a5)·a3=(a3)3(a4)3=(a3·a4)3，令n=2，得a3·a4=32，故选D.

　　6.等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知(a8+1)3+2 013(a8+1)=1，(a2 006+1)3+2 013(a2 006+1)=-1，则下列结论正确的是(　　)

　　A.d<0，S2 013=2 013 B.d>0，S2 013=2 013

　　C.d<0，S2 013=-2 013 D.d>0，S2 013=-2 013

　　答案：C　命题立意：本题考查函数的性质——单调性与奇偶性、等差数列的性质与前n项和公式，难度中等.

　　解题思路：记f(x)=x3+2 013x，则函数f(x)是在R上的奇函数与增函数;依题意有f(a8+1)=-f(a2 006+1)=1>f(0)=0，即f(a8+1)=f[-(a2 006+1)]=1，a8+1=-(a2 006+1)，a8+1>0>a2 006+1即a8>a2 006，d=<0;a8+a2 006=-2，S2 013===-2 013，故选C.

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