2016高考数学提分专练及答案:导数的简单应用

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　　一、选择题

　　1.下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是(　　)

　　答案：C　命题立意：本题考查导数在研究函数单调性上的应用，难度中等.

　　解题思路：依次判断各个选项，易知选项C中两图象在第一象限部分，不论哪一个作为导函数的图象，其值均为正值，故相应函数应为增函数，但相反另一函数图象不符合单调性，即C选项一定不正确.

　　2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+ln x，则f′(e)=(　　)

　　A.1　　　　B.-1　　　C.-e-1　　D.-e

　　答案：C　命题立意：本题考查函数的导数的求法与赋值法，难度中等.

　　解题思路：依题意得，f′(x)=2f′(e)+，取x=e得f′(e)=2f′(e)+，由此解得f′(e)=-=-e-1，故选C.

　　3.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则其导函数y=f′(x)的图象可能是(　　)

　　A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D

　　答案：A　命题立意：本题考查函数的性质，难度较小.

　　解题思路：函数f(x)的图象自左向右看，在y轴左侧，依次是增、减、增;在(0，+∞)上是减函数.因此，f′(x)的值在y轴左侧，依次是正、负、正，在(0，+∞)上的取值恒非正，故选A.

　　4.已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)=f(5-x)，f′(x)<0.若x1

　　A.f(x1)f(x2)

　　C.f(x1)+f(x2)<0 D.f(x1)+f(x2)>0

　　答案：B　命题立意：本题主要考查函数的性质，意在考查考生的逻辑思维能力.

　　解题思路：依题意得，当x<时，f′(x)<0，则函数f(x)在上是减函数.当x1f(x2);若x2≥，则由x1+x2<5得x1<5-x2≤，此时有f(x1)>f(5-x2)=f(x2).综上所述，f(x1)>f(x2)，故选B.

　　5.已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(0)等于(　　)

　　A.0 B.-4 C.-2 D.2

　　答案：B　解题思路：本题考查导数知识的运用.由题意f′(x)=2x+2f′(1)， f′(1)=2+2f′(1)，即f′(1)=-2，

　　f′(x)=2x-4， f′(0)=-4.

　　技巧点拨：解决本题的关键是利用导数求出f′(1)的值.

　　6.已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x3-4x，且f(x)的图象过点(0，-5)，当函数f(x)取得极大值-5时，x的值应为(　　)

　　A.-1 B.0 C.1 D.±1

　　答案：B　解题思路：可以求出f(x)=x4-2x2+c，其中c为常数.由于f(x)过(0，-5)，所以c=-5，又由f′(x)=0，得极值点为x=0和x=±1.又x=0时，f(x)=-5，故x的值为0.

　　7.已知函数f(x)=x3-2ax2-3x(aR)，若函数f(x)的图象上点P(1，m)处的切线方程为3x-y+b=0，则m的值为(　　)

　　A.- B.- C. D.

　　答案：A　命题立意：本题主要考查导数的几何意义及切线方程的求法.求解时，先对函数f(x)求导，令x=1求出点P(1，m)处切线的斜率，进而求出a的值，再根据点P在函数f(x)的图象上即可求出m的值.

　　解题思路： f(x)=x3-2ax2-3x， f′(x)=2x2-4ax-3， 过点P(1，m)的切线斜率为k=f′(1)=-1-4a.又点P(1，m)处的切线方程为3x-y+b=0，

　　-1-4a=3， a=-1， f(x)=x3+2x2-3x.

　　又点P在函数f(x)的图象上， m=-.

　　8.已知函数y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x>0，f(x)+xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的导函数).设a=(log4)f(log4)，b=f()，c=·f，则a，b，c的大小关系是(　　)

　　A.c>a>b B.c>b>a

　　C.a>b>c D.a>c>b

　　答案：C　思路点拨：令函数F(x)=xf(x)，则函数F(x)=xf(x)为偶函数.当x>0时，F′(x)=f(x)+xf′(x)>0，此时函数F(x)在(0，+∞)上单调递增，则a=F(log4)=F(-log24)=F(-2)=F(2)，b=F()，c=F=F(-lg 5)=F(lg 5)，因为0b>c，故选C.

　　9.在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是(　　)

　　A. B.

　　C.e+ D.e-

　　答案：A

　　解题思路：二、填空题

　　10.已知函数f(x)=ex-ae-x，若f′(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________.

　　答案：[3，+∞)　命题立意：本题考查导数的运算及不等式恒成立一类问题的解答方法，正确地分离变量是解答本题的关键，难度中等.

　　解题思路：据题意有f′(x)=ex+ae-x≥2，分离变量得a≥(2-ex)ex=-(ex-)2+3，由于(2-ex)ex=-(ex-)2+3≤3，故若使不等式恒成立，只需a≥3即可.

　　11.已知aR，函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是偶函数，则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为________.

　　答案：3x+y=0　命题立意：本题主要考查导数的求法、奇偶性的定义、导数的几何意义与直线的方程等基础知识，意在考查考生的基本运算能力.

　　解题思路：依题意得，f′(x)=3x2+2ax+(a-3)是偶函数，则2a=0，即a=0，f′(x)=3x2-3，f′(0)=-3，因此曲线y=f(x)在原点处的切线方程是y=-3x，即3x+y=0.

　　12.已知函数f(x)=axsin x-(aR)，若对x，f(x)的最大值为，则

　　(1)a的值为________;

　　(2)函数f(x)在(0，π)内的零点个数为________.

　　答案：(1)1　(2)2　命题立意：本题考查导数的应用以及函数零点，难度中等.

　　解题思路：利用导数确定函数单调性，再利用数形结合求零点个数.因为f′(x)=a(sin x+xcos x)，当a≤0时，f(x)在x上单调递减，最大值f(0)=-，不适合题意，所以a>0，此时f(x)在x上单调递增，最大值f=a-=，解得a=1，符合题意，故a=1.f(x)=xsin x-在x(0，π)上的零点个数即为函数y=sin x，y=的图象在x(0，π)上的交点个数，又x=时，sin =1>>0，所以两图象在x(0，π)内有2个交点，即f(x)=xsin x-在x(0，π)上的零点个数是2.

　　13.已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点(，an+1)(nN*)在函数y=x3+x的导函数的图象上.数列{bn}满足bn=(nN*).则数列{bn}的前n项和Sn为________.

　　答案：　命题立意：本题主要考查多项式函数的求导方法，等差数列的概念、通项公式以及数列求和方法等基础知识，考查学生的运算能力和综合运用知识分析、解决问题的能力.

　　解题思路：由已知得an+1=an+1， 数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列， an=n，bn===-(nN*)，Sn=1-+-+…+-=1-=(nN*).

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