2016高考数学提分专练及答案:导数的简单应用

　　B组

　　一、选择题

　　1.已知曲线f(x)=ln x在点(x0，f(x0))处的切线经过点(0，-1)，则x0的值为(　　)

　　A. B.1 C.e D.10

　　答案：B　命题立意：本题主要考查导数的几何意义、直线的方程等基础知识，意在考查考生的基本运算能力.

　　解题思路：依题意得，题中的切线方程是y-ln x0=(x-x0);又该切线经过点(0，-1)，于是有-1-ln x0=(-x0)，由此得ln x0=0，x0=1，故选B.

　　2.已知函数f(x)=+1，g(x)=aln x，若在x=处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为(　　)

　　A. B.

　　C.1 D.4

　　答案：A　命题立意：本题主要考查导数的概念与曲线切线的求解，考查思维的严谨性，应注意检验.

　　解题思路：由题意可知f′(x)=x，g′(x)=，由f′=g′，得=，可得a=，经检验，a=满足题意.

　　3.若函数f(x)=-x2+bln(x+2)在[-1，+∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)

　　A.[-1，+∞) B.(-1，+∞)

　　C.(-∞，-1] D.(-∞，-1)

　　答案：C　解题思路：函数f(x)的导数f′(x)=-x+，要使函数f(x)在[-1，+∞)上是减函数，则f′(x)=-x+≤0在[-1，+∞)上恒成立，即≤x在[-1，+∞)上恒成立，因为x≥-1，所以x+2≥1>0，即b≤x(x+2)在[-1，+∞)上恒成立.设y=x(x+2)，则y=x2+2x=(x+1)2-1，因为x≥-1，所以y≥-1，所以要使b≤x(x+2)在[-1，+∞)上恒成立，则有b≤-1，故选C.

　　4.如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象，函数g(x)=ex-f′(x)的零点所在的区间是(k，k+1)(kZ)，则k的值为(　　)

　　A.-1或0 B.0

　　C.-1或1 D.0或1

　　答案：C　解题思路：由二次函数f(x)的图象及函数f(x)两个零点的位置可知其对称轴x=-，解得10，g(0)=1-a<0，g(1)=e-2-a<0，g(2)=e2-4-a>0，函数g(x)的两个零点x1(-1,0)和x2(1,2)，故k=-1或1.

　　5.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有(　　)

　　A.1个 B.2个

　　C.3个 D.4个

　　答案：B　命题立意：本题主要考查函数的导数与极值间的关系，意在考查考生的推理能力.

　　解题思路：依题意，记函数y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a0;当x1

　　6.若曲线y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点坐标为(　　)

　　A.(1,1) B.(2,3)

　　C.(3,1) D.(1,4)

　　答案：A　命题立意：本题考查导数的几何意义和基本不等式等相关知识.根据函数的导数取得的最小值可以求出a，以及取得最小值时的条件，这个条件就是所求的值.运用导数知识解决相应的几何切线问题是新课标高考考查的热点，导数不仅在选择题、填空题中经常考查，在解答题中也常和函数的单调性、极值等问题一起出现.

　　解题思路：y=x2+aln x的定义域为(0，+∞)，由导数的几何意义知y′=2x+≥2=4，解得a=2，等号成立的条件是x=1，代入曲线方程得y=1，故所求的切点坐标是(1,1).

　　7.如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象，则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是(　　)

　　A.

　　B.

　　C.(1,2)

　　D.(2,3)

　　答案：B　解题思路：因为f(1)=0，则b=a+1，又f(0)=a，且00，g=ln +1-b<1-b<0，所以函数g(x)的零点在区间上，故选B.

　　8.曲线y=x2+bx+c在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则点P到该曲线对称轴距离的取值范围为(　　)

　　A.[0,1] B.

　　C. D.

　　答案：B　命题立意：本题考查二次函数的图象、性质及导数几何意义的综合应用，难度中等.

　　解题思路：利用导数的几何意义和二次函数的性质直接求解.由题意可得在点P处的切线的斜率的取值范围是[0,1]，即0≤2x0+b≤1，该曲线的对称轴方程是x=-，所以点P到该曲线的对称轴距离.

　　二、填空题

　　9.已知f(x)=x3-mx2+3mx+5在(1,4)上有两个极值点，则实数m的取值范围为________.

　　答案：　命题立意：本题主要考查函数的性质(零点与极值)、二次函数的图象与性质等基础知识，意在考查考生的运算能力.

　　解题思路：依题意，得f′(x)=3x2-2mx+3m=0在(1,4)上有两个不等的实根，于是有

　　解得9

　　即实数m的取值范围是9

　　10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<，则不等式f(x2)<+的解集为________.

　　答案：(-∞，-1)(1，+∞)　命题立意：本题主要考查构造法、函数的导数与函数的单调性间的关系及一元二次不等式的解法，意在考查考生应用所学知识解决问题的能力.

　　解题思路：记g(x)=f(x)-x-，则有g′(x)=f′(x)-<0，g(x)是R上的减函数，且g(1)=f(1)-×1-=0.不等式f(x2)<+，即f(x2)--<0，g(x2)<0=g(1)，由g(x)是R上的减函数得x2>1，解得x<-1或x>1，即不等式f(x2)<+的解集是(-∞，-1)(1，+∞).

　　11.已知函数f(x)的定义域为[-1,5]，部分对应值如下表：

　　x -1 0 2 4 5 y 1 2 0 2 1 f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示.

　　(1)f(x)的极小值为________;

　　(2)若函数y=f(x)-a有4个零点，则实数a的取值范围为________.

　　答案：(1)0　(2)[1,2)

　　解题思路：(1)由y=f′(x)的图象可知，

　　f(2)为f(x)的极小值，f(2)=0.

　　(2)y=f(x)的图象如图所示：

　　若函数y=f(x)-a有4个零点，则a的取值范围为1≤a<2.

　　12.关于函数f(x)=2x-(xR).有下列三个结论：f(x)的值域为R;f(x)是R上的增函数;f(x)的图象是中心对称图形.其中所有正确命题的序号是________.

　　答案：　命题立意：本题考查指数函数的性质，难度中等.

　　解题思路： 2x>0， 当2x→0时，f(x)→-∞，当2x→+∞时，f(x)→+∞，所以f(x)的值域为R，是正确的;由于g(x)=2x在定义域内是增函数，所以f(x)=2x-(xR)在定义域内也是增函数，所以是正确的;由于f(-x)=2-x-=-2x=-f(x)，所以函数的图象关于原点对称，是正确的.

　　13.若以曲线y=f(x)上任意一点M(x，y)为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N(x1，y1)，以点N为切点作切线l1，且ll1，则称曲线y=f(x)具有“可平行性”.下列曲线具有可平行性的编号为________.(写出所有满足条件的函数的编号)

　　y=x3-x y=x+

　　y=sin x y=(x-2)2+ln x

　　答案：　命题立意：本题主要考查导数在函数中的应用，旨在考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.

　　解题思路：由题意可知，对于函数定义域内的任意一个x值，总存在x1(x1≠x)使得f′(x1)=f′(x).对于，由f′(x1)=f′(x)可得x=x2，但当x=0时不符合题意，故不具有可平行性;对于，由f′(x1)=f′(x)可得=，此时对于定义域内的任意一个x值，总存在x1=-x，使得f′(x1)=f′(x);对于，由f′(x1)=f′(x)可得cos x1=cos x，x1=x+2kπ(kZ)，使得f′(x1)=f′(x);对于，由f′(x1)=f′(x)可得2(x1-2)+=2(x-2)+，整理得x1x=，但当x=时不符合题意.综上，答案为.

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